Aptarimas:Iracionaliųjų funkcijų integravimas (papildomai)

Naujausias komentaras: prieš 1 metus Paraboloid temoje Trečiojo tipo integralo pavyzdžio patikrinimas

Trečiojo tipo integralo pavyzdžio patikrinimas

keisti
Trečiojo tipo integralo pavyzdyje gavome, kad
 
Arba   Apskaičiuosime kam lygus   kai x kinta nuo 0 iki 3:
 
 
=0.29012056311169063853376698805293/1.4142135623730950488016887242097=0.20514621753793618370771135085263.
Toliau apskaičiuosime integralą   kai x kinta nuo 0 iki 3:
 
 
 
=0.20412414523193150818310700622549 * [ln(1.7178843997937233560122333417696/0.08489123793827129054737729196566) - ln(1.816496580927726032732428024902/0.18350341907227396726757197509804)]=
=0.20412414523193150818310700622549 * [ln(20.236298132946110691158905973668) - ln(9.8989794855663561963945681494118)]=
=0.20412414523193150818310700622549 * [3.0074779291214254623297105529653 - 2.292431669561177687800787311348]=
=0.20412414523193150818310700622549 * 0.7150462595602477745289232416173 = 0.14595820653402541036436689756671.
Taigi, sudėjus   ir   integralus, kai x kinta nuo 0 iki 3, gauname:
I = 0.20514621753793618370771135085263 + 0.14595820653402541036436689756671 = 0.35110442407196159407207824841934.
Toliau palyginsime gautą integralo I atsakymą su funkcijos   reikšme (kai x=0 ir kai x=3) padauginta iš 3. Tada gausime maksimalią ir minimalią įmanomą integralo I reikšmę. Taigi,
 
 
= 3/25.238858928247925051834548872293 = 0.11886432776254909757535894288364.
Matome, kad
  arba
0.11886432776254909757535894288364 < 0.35110442407196159407207824841934 < 3.
Vadinasi, integralo I skaičiavime didelių klaidų nėra ir gautas atsakymas ( ) pilnai pretenduoja į teisingo atsakymo statusą.
Toks Free Pascal kodas:
  var a:longint; b,c:real;
  begin
  for a:=1 to 1000000000  do
  c:=c+0.000000003/((sqr(a*0.000000003)-a*0.000000003+1)*sqrt(sqr(a*0.000000003)+a*0.000000003+1));
  writeln(c);
  readln;
  end.
duoda atsakymą "1.2918337052676980E+000" po 21 sekundės ant 4.16 GHz dažniu veikiančio procesoriaus (patį pirmą kartą paleidus šį kodą, gaunamas atsakymas po 43 sekundžių). Tai reiškia, kad plotas po funkcija   nuo 0 iki 3 lygus  
Kaip matome su Free Pascal skaičiuotas plotas skiriasi nuo gauto atsakymo (ploto) integravimo budu. Bandžiau įstatyti į integralą     vietoje   bet tada gaunama dar mažesnė integralo I reikšmė (integralas   gaunamas neigiamas, va toks:   = -0.03734521977784111855980402563914).
Internetinis integratorius https://www.wolframalpha.com/calculators/integral-calculator/ šitą integralą integruoja taip:
 
  yra atvirkštinė hiperbolinio tangento funkcija. Matome, kad Wolframalpha integratorius nemoka integruoti iracionaliųjų funkcijų, nes duoda atsakymą su menamuoju vienetu.
Sprendžiant iš tokio neteisingo integravimo, nenustebčiau jei dalis sudetingų integralų iš integralų lentelių yra neteisingi arba neduoda ploto po funkciją, kurią jie integruoja. Gal paėmus išvestinę gauto integralo, tarkim šitame pavyzdyje, gausime pradinę funkciją   bet tas integralas nereikš ploto po funkcija f(x). Ir taip gali buti su daug integruotų iracionaliųjų funkcijų šituo budu ar taikant Oilerio keitinius.
Kad integravimo keliu gautas atsakymas   yra neteisingas (integruojant nuo 0 iki 3), galima įsitikinti paėmus f(1) padaugintą iš 1:
 
=0.57735026918962576450914878050196.
Su reikšmėm mažesnėm nei x=1 funkcija   turi didesnes reikšmes (nei f(1)), o mes paėmėme, kad plotas   yra plotas stačiakampio su kraštinėmis 1 ir ~0.577350269. Taigi,
0.57735026918962576450914878050196 > 0.35110442407196159407207824841934
ir tai įrodo, kad integravimo budu (nuo 0 iki 3) gautas atsakymas (plotas) yra neteisingas.

Paraboloid (aptarimas) 17:24, 26 gegužės 2023 (UTC)Atsakyti

Pirmojo tipo integralo pavyzdžio patikrinimas

keisti
Apskaičiuosime pirmojo tipo integralo pavyzdžio reikšmę, kai x kinta nuo 0 iki 2:
 
 
 
 
 
= 6.28318530717958647692528676655 - 3 = 3.283185307179586476925286766559.
Patikriname ar gautas atsakymas nėra didesnis už maksimalią funkcijos   reikšmę padaugintą iš 2 ir ar nėra mažesnis už minimalią funkcijos f(x) reikšmę padaugintą iš 2 intervale nuo 0 iki 2:
 
 
Matome, kad gautas integralo atsakymas ~3.2831853 tenkina nusakytas sąlygas, todėl turi visus šansus buti teisingu, nes
0 < 3.2831853 < 16.
Toks Free Pascal kodas:
  var a:longint; b,c:real;
  begin
  for a:=1 to 1000000000  do
  c:=c+a*0.000000002*sqr(a*0.000000002)/sqrt(1+a*0.000000004-sqr(a*0.000000002));
  writeln(0.000000002*c);
  readln;
  end.
duoda rezultatą "3.28318531517779016492E+0000" po 21 sekundės su 4.16 GHz procesorium (pirmą kartą [paleidus] šitas kodas duodą šitą rezultatą po 43 sekundžių). Gavome pirmus 8 teisingus skaitmenis, kai plotą po funkciją   padalinome į milijardą siaurų stačiakampių (kurių viena kraštinė lygi 0.000000002), kai x kinta nuo 0 iki 2 funkcijai f(x). Vadinasi pavyzdžio integralas apskaičiuotas teisingai.


Trupmeninių tiesinių iracionalumų integralo pavyzdžio patikrinimas

keisti
Apskaičiuosime pavyzdyje gautą integralo reikšmę, kai x kinta nuo 0 iki 0.8:
 
 
 
 
 
 
= 4 - 2*1.2490457723982544258299170772811 + 2*0.78539816339744830961566084581988 =
= 4 - 2.4980915447965088516598341545622 + 1.5707963267948966192313216916398 =
= 3.0727047819983877675714875370776.
Apskaičiuosime kokių reikšmių šito pavyzdžio integralas viršiti negali (funkcijai  ):
 
 
 
Matome, kad integravimo atsakymas ~3.07270478 gali būti teisingas, nes nelygybė
 
12 > 3.0727047819983877675714875370776 > 0.8
tenkinama.
Toks Free Pascal kodas skaičiuoja plotą po funkcijos   kreive, kai x kinta nuo 0 iki 0.8:
  var a:longint; b,c:real;
  begin
  for a:=1 to 1000000000  do
  c:=c+0.0000000008*sqrt((1+a*0.0000000008)/(1-a*0.0000000008))/(1-a*0.0000000008);
  writeln(c);
  readln;
  end.
ir duoda rezultatą "3.0727047875963005E+000" po 26 sekundžių su 4.16 GHz procesium (per pirmą kodo paleidimą duoda šį rezultatą po 46-47 sekundžių). Gavome pirmus 9 teisingus Free Pascal atsakymo skaitmenis (kai plotą po funkcija f(x) suskaldėme į milijardą dalių). Vadinasi, integralas I apskaičiuotas teisingai.
Truputi labiau optimizuotas kodas (kuriame viena daugybos operacija mažiau):
  var a:longint; b,c:real;
  begin
  for a:=1 to 1000000000  do
  c:=c+sqrt((1+a*0.0000000008)/(1-a*0.0000000008))/(1-a*0.0000000008);
  writeln(0.0000000008*c);
  readln;
  end.
duoda rezultatą "3.07270478759553108223E+0000" po 25 sekundžių (pirmą kartą - po 46 sekundžių) su 4.16 GHz dažniu veikiančiu procesorium. Išeina, kad per ~1 sekundę atliekama milijardas daugybos operacijų. O procesorius veikia 4.16 GHz dažnių. Tai gaunasi maždaug 4.16 ciklų vienai daugybos operacijai. Bet tai netikslu, nes sekundės įvertinimas yra netikslus (gali būti, pavyzdžiui, 0.5 sekundės arba 1.5 sekundės ilgesnis skaičiavimo laikas).

Trečiojo tipo integralo skaičiavimai

keisti
Įstatysime keitinį   į polinomą   ir pažiūrėsime ar gausime tą pačią išraišką kaip trečiojo tipo integralo teorijoje. Taigi,
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gavome tokią pačią išraišką kaip teorijoje. Vadinasi, viskas apskaičiuota teisingai.
Į polinomą   įstatę   gausime kam lygus   įstačius   keitinį:
 
Ir dabar gauname tokią pačią polinomo   išraišką kaip teorijoje. Skaičiavimuose klaidų nėra.


Kadangi   tai
 
Todėl
 

Trečiojo tipo integralo pavyzdžio skaičiavimas kitu budu

keisti
Pavyzdys (kurio sprendimas truputi kitoks). Apskaičiuosime integralą   Tai III tipo integralas. Kadangi jis netenkina (7.75) sąlygos, tai pirmiausia turime padaryti (7.76) keitinį ( ). Po tokio pakeitimo
 
 
Koeficientus   ir   randame iš lygčių sistemos
 
Lengva įsitikinti, kad   (gali būti ir priešingai:  ). Šįkart mes imsime, kad   Vadinasi, (7.76) keitinys yra   todėl
   
iš truputi aukščiau  
arba
 
Toliau
 
 
 
 
Nagrinėjamasis integralas virsta šitokiu:
 
jei
 
Integralui   apskaičiuoti naudosime keitinį   o integralui   - keitinį  
Tada integralui   turime:
 
  ir
 
 
Šįkart gavome, kad   integralas yra lygiai toks pats kaip skaičiuotas puslapyje integralas   su   Iš integralų lentelės ( https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_integrals_of_rational_functions )
 
Tęsiame skaičiavimus:
 
 
 
 
 
Kaip matome, gautas integralas   lygus integralui   iš puslapio trečiojo tipo integralo pavyzdžio su   reikšmėm.
Tik dar pastebėsime, kad iš lygybės   turime:
 
Integralui   turime:
 
 
Skaičiuojame   integralą:
 
 
 
 
 
 
 
Taigi, dabar gavome, kad integralas   lygus integralui   iš puslapio trečiojo tipo integralo pavyzdžio su   reikšmėm.
Galutinai
 
Graži teorija, bet praktikoje ji neveikia kaip aptarta/parodyta aukščiau.
- naudotojas Paraboloid [2024 kovo 2].
Grįžti į "Iracionaliųjų funkcijų integravimas (papildomai)" puslapį.