Matematika/Trigonometrinės formulės

Pagrindinių trigonometrinių formulių įrodymai

Įrodysime pagrindines trigonometrines formules, iš kurių išplaukia daug kitų trigonometrinių formulių.

1 pav. Vienetinis apskritimas, kuriame yra pažymėti 2 kampai ir tų kampų skirtumo kampas.

Vienetiniame apskritime pažymėkime taškus $P_{\alpha },\;P_{\beta },\;P_{\alpha -\beta }\;$ ir $P_{0}\;$ (1 pav.). Remdamiesi sinuso ir kosinuso apibrėžimais, tų taškų koordinates galime užrašyti šitaip:

$P_{\alpha }(\cos \alpha ;\;\sin \alpha );\;P_{\beta }(\cos \beta ;\;\sin \beta );$

$P_{\alpha -\beta }(\cos(\alpha -\beta );\;\sin(\alpha -\beta ));\;P_{0}(1;\;0).\quad (0)$

Kadangi lankai $P_{\alpha }P_{\beta }\;$ ir $P_{\alpha -\beta }P_{0}\;$ yra lygūs, tai atkarpos $P_{\alpha }P_{\beta }$ ilgis lygus atkarpos $P_{\alpha -\beta }P_{0}$ ilgiui. Šį teiginį galime užrašyti atstumo tarp dviejų taškų, nurodytų jų koordinatėmis (žr. (0)), formule:

${\sqrt {(\cos \alpha -\cos \beta )^{2}+(\sin \alpha -\sin \beta )^{2}}}={\sqrt {(\cos(\alpha -\beta )-\cos 0)^{2}+(\sin(\alpha -\beta )-\sin 0)^{2}}}$

arba

${\sqrt {(\cos \alpha -\cos \beta )^{2}+(\sin \alpha -\sin \beta )^{2}}}={\sqrt {(\cos(\alpha -\beta )-1)^{2}+\sin ^{2}(\alpha -\beta )}}.$

Abi šios lygybės puses pakelkime kvadratu ir po to pertvarkykime jas, remdamiesi tapatybe $\cos ^{2}t+\sin ^{2}t=1:$

$\cos ^{2}\alpha -2\cos \alpha \cos \beta +\cos ^{2}\beta +\sin ^{2}\alpha -2\sin \alpha \sin \beta +\sin ^{2}\beta =$

$=\cos ^{2}(\alpha -\beta )-2\cos(\alpha -\beta )+1+\sin ^{2}(\alpha -\beta );$

$(\cos ^{2}\alpha +\sin ^{2}\alpha )+(\cos ^{2}\beta +\sin ^{2}\beta )-2(\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta )=$

$=[\cos ^{2}(\alpha -\beta )+\sin ^{2}(\alpha -\beta )]-2\cos(\alpha -\beta )+1;$

$2-2(\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta )=2-2\cos(\alpha -\beta ).$

Iš čia gauname skirtumo kosinuso formulę:

$\cos(\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta .\quad (1)$

Iš lygybių $\cos(-\beta )=\cos \beta$ ir $\sin(-\beta )=-\sin \beta$ bei (1) formulės išplaukia:

$\cos(\alpha +\beta )=\cos(\alpha -(-\beta ))=\cos \alpha \cos(-\beta )+\sin \alpha \sin(-\beta )=$

$=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta .$

Taigi sumos kosinuso formulė yra tokia:

$\cos(\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta .\quad (1.2)$

Į formulę (1) įstačius ${\frac {\pi }{2}}$ vietoje $\alpha$ ir įstačius $\alpha$ vietoje $\beta$ gausime

$\cos({\frac {\pi }{2}}-\alpha )=\cos {\frac {\pi }{2}}\cos \alpha +\sin {\frac {\pi }{2}}\sin \alpha =\sin \alpha .$

Gautoje formulėje

$\sin \alpha =\cos({\frac {\pi }{2}}-\alpha )\quad (2)$

įstačius $\alpha +\beta$ vietoje $\alpha ,$ gausime

$\sin(\alpha +\beta )=\cos({\frac {\pi }{2}}-\alpha -\beta )=\cos(({\frac {\pi }{2}}-\alpha )-\beta ).$

Toliau į (1) formulę įstačius ${\frac {\pi }{2}}-\alpha$ vietoje $\alpha ,$ gausime

$\sin(\alpha +\beta )=\cos(({\frac {\pi }{2}}-\alpha )-\beta )=$

$=\cos({\frac {\pi }{2}}-\alpha )\cos \beta +\sin({\frac {\pi }{2}}-\alpha )\sin \beta =$

$=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta .$

Pasinaudojome formule

$\sin({\frac {\pi }{2}}-\alpha )=\cos \alpha ,\quad (3)$

kuri išplaukia iš formulės (2) įstačius į ją ${\frac {\pi }{2}}-\alpha$ vietoje $\alpha ;$ tada

[$\sin \alpha =\cos({\frac {\pi }{2}}-\alpha )\quad (2)$]

$\sin({\frac {\pi }{2}}-\alpha )=\cos({\frac {\pi }{2}}-({\frac {\pi }{2}}-\alpha ))=\cos \alpha .$

Taigi, gavome formulę (3) ir formulę

$\sin(\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta .\quad (4)$

Iš (4) formulės gauname:

$\sin(\alpha -\beta )=\sin(\alpha +(-\beta ))=\sin \alpha \cos(-\beta )+\cos \alpha \sin(-\beta )=$

$=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta .$

Todėl

$\sin(\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta .\quad (5)$

Iš (1.2) ir (4) formulės išplaukia

$\tan(\alpha +\beta )={\frac {\sin(\alpha +\beta )}{\cos(\alpha +\beta )}}={\frac {\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta }}.$

Padaliję šios lygybės dešiniosios pusės skaitiklį ir vardiklį iš $\cos \alpha \cos \beta ,$ gauname:

$\tan(\alpha +\beta )={\frac {\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }}.\quad (6)$

Pagaliau (iš to, kad ${\text{tg}}(-\alpha )=-{\text{tg}}\;\alpha$)

$\tan(\alpha -\beta )=\tan(\alpha +(-\beta ))={\frac {\tan \alpha +\tan(-\beta )}{1-\tan \alpha \tan(-\beta )}}={\frac {\tan \alpha -\tan \beta }{1+\tan \alpha \tan \beta }}.$

Todėl

$\tan(\alpha -\beta )={\frac {\tan \alpha -\tan \beta }{1+\tan \alpha \tan \beta }}.\quad (7)$

Redukcijos formulės

$u$	${\frac {\pi }{2}}+\alpha$	$\pi +\alpha$	${\frac {3\pi }{2}}+\alpha$	$-\alpha$	${\frac {\pi }{2}}-\alpha$	$\pi -\alpha$	${\frac {3\pi }{2}}-\alpha$
$\sin u$	$\cos \alpha$	$-\sin \alpha$	$-\cos \alpha$	$-\sin \alpha$	$\cos \alpha$	$\sin \alpha$	$-\cos \alpha$
$\cos u$	$-\sin \alpha$	$-\cos \alpha$	$\sin \alpha$	$\cos \alpha$	$\sin \alpha$	$-\cos \alpha$	$-\sin \alpha$
$\operatorname {tg} u$	$-\operatorname {ctg} \alpha$	$\operatorname {tg} \alpha$	$-\operatorname {ctg} \alpha$	$-\operatorname {tg} \alpha$	$\operatorname {ctg} \alpha$	$-\operatorname {tg} \alpha$	$\operatorname {ctg} \alpha$
$\operatorname {ctg} u$	$-\operatorname {tg} \alpha$	$\operatorname {ctg} \alpha$	$-\operatorname {tg} \alpha$	$-\operatorname {ctg} \alpha$	$\operatorname {tg} \alpha$	$-\operatorname {ctg} \alpha$	$\operatorname {tg} \alpha$

Tangentas ir kotangentas ant vienetinio apskritimo

1 pav. Tangentas ant vienetinio apskritimo.

2 pav. Kotangentas ant vienetinio apskritimo.

Trigonometrines funkcijas $\operatorname {tg} x$ ir $\operatorname {ctg} x$ negalima vaizdžiai parodyti kaip atkarpas ant ašių Ox ir Oy, esančias vienetiniame apskritime. Kad juos parodyti pasielgsime štai kaip.

Nagrinėkime vienetinį apskritimą ir jo liestinę pereinančią per tašką $M_{0}$ (1 pav.). Tegu apskritimo taškas $P_{\alpha }$ atitinka realiajam skaičiui $\alpha$ (arba kampui $\alpha$ radianų). Pagal apibrėžimą $\operatorname {tg} \alpha ={\frac {P_{\alpha }B}{OB}}.$ Iš trikampių $OP_{\alpha }B$ ir $OTM_{0}$ panašumo seka, kad ${\frac {P_{\alpha }B}{OB}}={\frac {TM_{0}}{OM_{0}}}={\frac {TM_{0}}{1}}=TM_{0},$ t. y. $\operatorname {tg} \alpha =TM_{0},$ arba $T(1;\,\operatorname {tg} \alpha ).$ Skaičių ašis $M_{0}T$ vadinama tangentų linija (arba tangentų ašimi). Analogiškai, atkarpa $QM_{0}$ yra tangentas skaičiaus $\beta .$

Panašiai sudaroma linija (arba ašis) kotangentų (2 pav.). Kadangi $\Delta OP_{\alpha }B$ ~ $\Delta QOD$ (trikampiai $OP_{\alpha }B$ ir $QOD$ panašūs), tai $\operatorname {ctg} \alpha ={\frac {OB}{P_{\alpha }B}}={\frac {QD}{OD}}={\frac {QD}{1}}=QD,$ t. y. $\operatorname {ctg} \alpha =QD,$ arba $Q(\operatorname {ctg} \alpha ;\,1).$

Nuorodos

• Visų trigonometrinių formulių įrodymai