Šviesos laužimas

Šviesos laužimo shader'is:

float4x4 view_proj_matrix;
float4 view_position;
struct VS_OUTPUT
{
float4 Pos: POSITION;
float2 TexCoord: TEXCOORD0;
float3 Refract: TEXCOORD1;
};
VS_OUTPUT vs_main(float4 inPos: POSITION, float3 inNormal: NORMAL,
float2 inTxr: TEXCOORD0)
{
VS_OUTPUT Out;
// Compute the projected position and send out the texture coordinates
Out.Pos = mul(view_proj_matrix, inPos);
Out.TexCoord = inTxr;
float3 viewVec = normalize(view_position - inPos);
// Compute the reflection vector using Snell’s Law
// the refract HLSL function does not always work properly
// n_i * sin(theta_i) = n_r * sin(theta_r)
// sin(theta_i) : Determine the sine of the incident vector 
float cosine = dot(viewVec, inNormal);
float sine = sqrt(1 - cosine * cosine);
// sin(theta_r) : Determine cosine of the refracted vector
// Note that the saturate(x) function is equivalent to
// using clamp(0,1,x). Also, 1.14 is the IOR for this
// shader.
float sine2 = saturate(1.14 * sine);
float cosine2 = sqrt(1 - sine2 * sine2);
// Determine the refraction vector be using the normal and tangent
// vectors as basis to determine the refraction direction
float3 x = -inNormal;
float3 y = normalize(cross(cross(viewVec, inNormal), inNormal));
Out.Refract = x * cosine2 + y * sine2;
return Out;
}

Iš pixel'ių shader'ių pusės viskas ko reikia, tai su'sample'inti environment map ir išgauti spalvą kaip sekantis kodas daro:

sampler Wood;
sampler EnvMap;
float4 ps_main(float2 inTxr: TEXCOORD0,float3 inRefract: TEXCOORD1) : COLOR
{
// Output texture color with reflection map
return texCUBE(EnvMap,inRefract);
}

Šita funkcija:

cross(viewVec, inNormal)

duoda vektorinę vektorių sandaugą iš dviejų vektorių. Padarius vektorinę vektorių sandaugą tarp dviejų trimačių vektorių gaunamas vektorius sudarantis 90 laipsnių kampą tiek su viewVec, tiek su inNormal. Tarkim, g=cross(viewVec, inNormal), tada g vektorius sudaro 90 laipsnių kampą su viewVec vektoriumi ir 90 laipsnių kampą su inNormal vektoriumi. Vektorius g lygiagretus trikampio plokštumai.

Vektorius inNormal yra plokščio trikampio (sudaryto iš 3 vertex'ų) normalė (normalė visada sudaro 90 laipsnių kampą su plokštuma).

Kadangi, spėju, kad vektorius inNormal normalizuotas (visos vektoriaus koordinatės gali būti tik nuo

-1

iki

1

) ir viewVec vektorius normalizuotas, tai shader'yje šito cross(cross(viewVec, inNormal), inNormal) normalizuoti greičiausiai nereikėjo (nebūtina).

y = normalize(cross(cross(viewVec, inNormal), inNormal)) = cross(cross(viewVec, inNormal), inNormal) = cross(g, inNormal).

Vektoriui y priešingos krypties vektorius yra vektorius h:

h = -y = -cross(g, inNormal).

Vektoriaus h kiekviena koordinatė turi priešingą ženklą (+ arba -) negu vektoriaus y. Vektorius h yra lygaigretus trikampio plokštumai (vektorius h guli ant trikampio plokštumos kaip ir vektorius g). Vektorius h su vektoriumi g sudaro 90 laipsnių kampą ant trikampio plokštumos (vektorius y taip pat sudaro 90 laipsnių kampą su vektoriumi g).

VEKTORIUS h YRA PROJEKCIJA VEKTORIAUS viewVec ANT TRIKAMPIO PLOKŠTUMOS. Vektoriaus projekcija ant plokštumos yra trumpiausias atstumas nuo vektoriaus galo iki plokštumos.

Pavyzdžiai

Duotas trikampis, kurio taškai (viršūnės) yra A(3; 4; 5), B(6; 7; 8), C(9; 10; 11). Rasime vektorius AB ir AC.

AB={6-3; 7-4; 8-5}={3; 3; 3};

AC={9-3; 10-4; 11-5}={6; 6; 6}.

Sudauginę vektorius AB ir AC vektorine vektorių sandauga (cross product) gausime vektorių inNormal (gausime trikampio normalės vektorių).

\mathbf {n} =\mathbf {a} \times \mathbf {b} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}a_{2}&a_{3}\\b_{2}&b_{3}\end{vmatrix}}\mathbf {i} -{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}\\b_{1}&b_{3}\end{vmatrix}}\mathbf {j} +{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}\\b_{1}&b_{2}\end{vmatrix}}\mathbf {k} =

=\mathbf {i} a_{2}b_{3}+\mathbf {j} a_{3}b_{1}+\mathbf {k} a_{1}b_{2}-\mathbf {i} a_{3}b_{2}-\mathbf {j} a_{1}b_{3}-\mathbf {k} a_{2}b_{1}=

=\mathbf {i} (a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})+\mathbf {j} (a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3})+\mathbf {k} (a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})=

=(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2};a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3};a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})=

=\mathbf {inNormal} ={\vec {AB}}\times {\vec {AC}}={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\3&3&3\\6&6&6\\\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}3&3\\6&6\end{vmatrix}}\mathbf {i} -{\begin{vmatrix}3&3\\6&6\end{vmatrix}}\mathbf {j} +{\begin{vmatrix}3&3\\6&6\end{vmatrix}}\mathbf {k} =

=(3\cdot 6-3\cdot 6;-(3\cdot 6-3\cdot 6);3\cdot 6-3\cdot 6)=(0;0;0).

Blogas pavyzdis, nes vektoriai AB ir AC lygiagretūs (normalizavus gaunasi tas pats vektorius). Visi trys taškai guli ant vienos linijos.

Duotas trikampis, kurio taškai (viršūnės) yra A(3; 4; 5), B(10; 13; 17), C(2; 6; 1). Rasime vektorius AB ir AC.

AB={10-3; 13-4; 17-5}={7; 9; 12};

AC={2-3; 6-4; 1-5}={-1; 2; -4}.

Sudauginę vektorius AB ir AC vektorine vektorių sandauga (cross product) gausime vektorių inNormal (gausime trikampio normalės vektorių).

\mathbf {n} =\mathbf {a} \times \mathbf {b} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}a_{2}&a_{3}\\b_{2}&b_{3}\end{vmatrix}}\mathbf {i} -{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}\\b_{1}&b_{3}\end{vmatrix}}\mathbf {j} +{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}\\b_{1}&b_{2}\end{vmatrix}}\mathbf {k} =

=\mathbf {i} a_{2}b_{3}+\mathbf {j} a_{3}b_{1}+\mathbf {k} a_{1}b_{2}-\mathbf {i} a_{3}b_{2}-\mathbf {j} a_{1}b_{3}-\mathbf {k} a_{2}b_{1}=

=\mathbf {i} (a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})+\mathbf {j} (a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3})+\mathbf {k} (a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})=

=(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2};a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3};a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})=

=\mathbf {inNormal} ={\vec {AB}}\times {\vec {AC}}={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\7&9&12\\-1&2&-4\\\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}9&12\\2&-4\end{vmatrix}}\mathbf {i} -{\begin{vmatrix}7&12\\-1&-4\end{vmatrix}}\mathbf {j} +{\begin{vmatrix}7&9\\-1&2\end{vmatrix}}\mathbf {k} =

=(9\cdot (-4)-2\cdot 12;\;-[7\cdot (-4)-(-1)\cdot 12];\;7\cdot 2-(-1)\cdot 9)=

=(-36-24;\;-[-28+12];\;14+9)=(-60;\;16;\;23).

Vektorius viewVec yra viewVec={5; 8; 4}. Rasime vektorių g (vektorius g guli ant trikampio ABC plokštumos, nes vektorius inNormal yra status trikampio plokštumai).

g=cross(viewVec, inNormal)=

=\mathbf {g} ={\vec {viewVec}}\times {\vec {inNormal}}={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\5&8&4\\-60&16&23\\\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}8&4\\16&23\end{vmatrix}}\mathbf {i} -{\begin{vmatrix}5&4\\-60&23\end{vmatrix}}\mathbf {j} +{\begin{vmatrix}5&8\\-60&16\end{vmatrix}}\mathbf {k} =

=(8\cdot 23-16\cdot 4;\;-[5\cdot 23-(-60)\cdot 4];\;5\cdot 16-(-60)\cdot 8)=

=(184-64;\;-[115+240];\;80+480)=(120;\;-355;\;560).

Suprastinus vektorius g lygus g={24; -71; 112}.

Toliau rasime vektorių y.

y=cross(g, inNormal)=

=\mathbf {y} ={\vec {g}}\times {\vec {inNormal}}={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\24&-71&112\\-60&16&23\\\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}-71&112\\16&23\end{vmatrix}}\mathbf {i} -{\begin{vmatrix}24&112\\-60&23\end{vmatrix}}\mathbf {j} +{\begin{vmatrix}24&-71\\-60&16\end{vmatrix}}\mathbf {k} =

=(-71\cdot 23-16\cdot 112;\;-[24\cdot 23-(-60)\cdot 112];\;24\cdot 16-(-60)\cdot (-71))=

=(-1633-1792;\;-[552+6720];\;384-4260)=(-3425;\;-7272;\;-3876).

Net iš normalizuotų vektorių vektorinė vektorių sandauga neduoda normalizuoto vektoriaus (jei duoti normalizuoti vektoriai a={0.8; 0.6; 0} ir b={-0.8; 0.6; 0}, tai z koordinatė vektoriaus c=cross(a, b) lygi k(0.8*0.6-(-0.8)*0.6)=k(0.48+0.48)=0.96 k, kas ne lygu 1 k). Todėl reikia normalizuoti vektorių y.

Normalizuosime vektorių viewVec={5; 8; 4}.

\|viewVec\|={\sqrt {5^{2}+8^{2}+4^{2}}}={\sqrt {25+64+16}}={\sqrt {105}}=10.246950766;

{\vec {viewVec}}=\{{\frac {5}{10.24695}};\;{\frac {8}{10.24695}};\;{\frac {4}{10.24695}}\}=\{0.4879500;\;0.78072006;\;0.39036003\}.

Toliau normalizuosime vektorių inNormal={-60; 16; 23}.

\|inNormal\|={\sqrt {(-60)^{2}+16^{2}+23^{2}}}={\sqrt {3600+256+529}}={\sqrt {4385}}=66.21933252457;

{\vec {inNormal}}=\{{\frac {-60}{66.2193325}};\;{\frac {16}{66.2193325}};\;{\frac {23}{66.2193325}}\}=\{-0.9060798065;\;0.2416212817;\;0.34733059\}.

Padarę skaliarinę vektorių sandaugą gausimę kosinusą kampo tarp vektoriaus viewVec ir vektoriaus inNormal.

cosine = dot(viewVec, inNormal)=

=cosine=\mathbf {viewVec} \cdot \mathbf {inNormal} =0.4879500\cdot (-0.9060798065)+0.78072006\cdot 0.2416212817+0.39036003\cdot 0.34733059=

=-0,44212164158+0,188638581546+0,13558398=-0,117899080034.

Randame sinusą

sine = sqrt(1 - cosine * cosine) =

={\sqrt {1-(-0,117899080034)^{2}}}={\sqrt {1-0,01390019307}}=0,986099806927

Jei kampas tarp dviejų vektorių 0 laipsnių, tai kosinusas lygus 1, o sinusas lygus 0. O jei kampas tarp dviejų vektorių lygus 90 laipsnių, tai kosinusas lygus 0, o sinusas lygus 1.

Funkcija saturate(x) yra ekvivalenti funkcijai clamp(0, 1, x). Funkcija clamp(0, 1, x) duoda reikšmes tik nuo 0 iki 1. Jei x daugiau už 1, tada vis tiek funkcija clamp(0, 1, x) grąžins 1.

Ir jeigu x mažiau už 0, tai vis tiek bus 0. Funkcija saturate duoda reikšmes intervale nuo 0 iki 1. O didesnias arba mažesnes reikšmes paverčia į 1 arba 0.

// Note that the saturate(x) function is equivalent to
// using clamp(0,1,x).

Jei šitą kodą

float3 x = -inNormal;
float3 y = normalize(cross(cross(viewVec, inNormal), inNormal));
Out.Refract = x * cosine2 + y * sine2;

pakeisti tokiu kodu

float3 x = -inNormal;
float3 y = normalize(cross(cross(viewVec, inNormal), inNormal));
Out.Refract = x * cosine + y * sine;

tai tada bus gautas viewVec arba -viewVec vektorius (sunku pasakyti ar reikalingas minusas ar ne). Tai yra

\\ Out.Refract = x * cosine + y * sine = viewVec

arba

\\ Out.Refract = x * cosine + y * sine = -viewVec

Vektorius x = -inNormal. O vektorius y yra projekcija vektoriaus viewVec (arba vektoriaus -viewVec, neaišku ar reikia to minuso) ant trikampio plokštumos.

Normalizuosime vektorių