Aptarimas:Herono formulė

Trikampio erdvėje plotas

Išvesime, trikampio erdvėje ploto radimo formulę. Trikampį ABC sudaro taškai $A(x_{1};y_{1};z_{1})$, $B(x_{2};y_{2};z_{2})$, $C(x_{3};y_{3};z_{3})$. Trikampio ABC Kraštinių ilgiai yra:

$a=AB={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}};$

$b=AC={\sqrt {(x_{3}-x_{1})^{2}+(y_{3}-y_{1})^{2}+(z_{3}-z_{1})^{2}}};$

$c=BC={\sqrt {(x_{3}-x_{2})^{2}+(y_{3}-y_{2})^{2}+(z_{3}-z_{2})^{2}}}.$

$a^{2}=AB^{2}=(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}=x_{2}^{2}-2x_{2}x_{1}+x_{1}^{2}+y_{2}^{2}-2y_{2}y_{1}+y_{1}^{2}+z_{2}^{2}-2z_{2}z_{1}+z_{1}^{2};$

$b^{2}=AC^{2}=(x_{3}-x_{1})^{2}+(y_{3}-y_{1})^{2}+(z_{3}-z_{1})^{2}=x_{3}^{2}-2x_{3}x_{1}+x_{1}^{2}+y_{3}^{2}-2y_{3}y_{1}+y_{1}^{2}+z_{3}^{2}-2z_{3}z_{1}+z_{1}^{2};$

$c^{2}=BC^{2}=(x_{3}-x_{2})^{2}+(y_{3}-y_{2})^{2}+(z_{3}-z_{2})^{2}=x_{3}^{2}-2x_{3}x_{2}+x_{2}^{2}+y_{3}^{2}-2y_{3}y_{2}+y_{2}^{2}+z_{3}^{2}-2z_{3}z_{2}+z_{2}^{2}.$

Iš Herono formulės turime išvedę, kad trikampio ABC plotas yra:

$S_{\Delta ABC}={\frac {1}{4}}\cdot {\sqrt {2(a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}b^{2})-c^{4}-a^{4}-b^{4}}}.$

$S_{\Delta ABC}={\frac {1}{2}}\cdot a\cdot h={\frac {1}{2}}\cdot a\cdot {\sqrt {c^{2}-\left({\frac {c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2a}}\right)^{2}}}={\frac {1}{4}}\cdot {\sqrt {4a^{2}c^{2}-(c^{2}+a^{2}-b^{2})^{2}}}.$

Taigi turime:

$S_{\Delta ABC}={\frac {1}{4}}{\sqrt {2(a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}b^{2})-c^{4}-a^{4}-b^{4}}}=$

$={\frac {1}{4}}{\sqrt {2([(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}][(x_{3}-x_{2})^{2}+(y_{3}-y_{2})^{2}+(z_{3}-z_{2})^{2}]+b^{2}c^{2}+a^{2}b^{2})-c^{4}-a^{4}-b^{4}}}=$

Toks trikampis negali būti, nes neatitinka du sprendimo metodai

PIRMAS METODAS:

• Duotas trikampis, kurio pagrindas $c=30.$ Kairė trikampio kraštinė yra $a=20.$ Dešinė trikampio kraštinė yra $b=25.$

Rasti trikampio sudaryto iš kraštinių a, b, c plotą.

Sprendimas.

$p={\frac {a+b+c}{2}}={\frac {30+25+20}{2}}={\frac {75}{2}}=37.5;$

$S={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}={\sqrt {37.5(37.5-30)(37.5-25)(37.5-20)}}=$

$={\sqrt {37.5\cdot 7.5\cdot 12.5\cdot 17.5}}={\sqrt {37.5\cdot 7.5\cdot 12.5\cdot 17.5}}=$

$={\sqrt {61523.4375}}=248.0391854.$

ANTRAS METODAS:

• Duotas trikampis, kurio pagrindas $c=30.$ Kairė trikampio kraštinė yra $a=20.$ Dešinė trikampio kraštinė yra $b=25.$

Rasti trikampio sudaryto iš kraštinių a, b, c plotą.

Sprendimas.

$S={\frac {1}{2}}\cdot c\cdot {\sqrt {a^{2}-{\frac {c^{2}}{({\frac {b}{a}}+1)^{2}}}}}={\frac {1}{2}}\cdot 30\cdot {\sqrt {20^{2}-{\frac {30^{2}}{({\frac {25}{20}}+1)^{2}}}}}=$

$=15{\sqrt {400-{\frac {900}{({\frac {5}{4}}+1)^{2}}}}}=15{\sqrt {400-{\frac {900}{({\frac {5+4}{4}})^{2}}}}}=15{\sqrt {400-{\frac {900}{({\frac {9}{4}})^{2}}}}}=$

$=15{\sqrt {400-{\frac {900}{\frac {81}{16}}}}}=15{\sqrt {400-{\frac {100\cdot 16}{9}}}}=15{\sqrt {\frac {400\cdot 9-1600}{9}}}=$

$={\frac {15}{3}}{\sqrt {3600-1600}}=5{\sqrt {2000}}=223.6067977.$

Pirmas metodas teisingas, o antras metodas neteisingas. Toks trikampis gali būti. Negali būti tik toks trikampis, kurio ilgiausia kraštinė ilgesnė (arba lygi) už dvejų kitų trikampio kraštinių ilgių sumą.

Tinka tik labai ribotam trikampiu asortimentui

tinka tik tiems trikampiams, pas kuriuos kampai prie pagrindo vienodi.

Paprastas Herono formulės įrodymas taikant santykius

Duotas trikampis, kurio pagrindas yra kraštinė c. Kairė kraštinė yra a. Dešinė kraštinė yra b. Be to, $b>a.$

Į pagrindą c nuleista aukštinė h, kuri dalina pagrindą c į dvi atkarpas $c_{a}$ ir $c_{b}$. Be to, $c_{b}>c_{a}.$

Akivaizdu, kad ${\frac {b}{a}}={\frac {c_{b}}{c_{a}}}.$ TAI NĖRA "AKIVAIZDU", NES TAI YRA NETEISINGA.

Kadangi mes žinome visų trikampio kraštinių ilgius, tai pagal santykį tarp b ir a galime surasti ilgius $c_{a}$ ir $c_{b}$, žinodami kam lygus pagrindo c ilgis.

Taigi randame,

$c_{b}={\frac {\frac {b}{a}}{{\frac {b}{a}}+1}}\cdot c,$

$c_{a}={\frac {1}{{\frac {b}{a}}+1}}\cdot c,$

kadangi $m=b/a>1,$ santykis yra m:1, nes $a/a=1.$ Pavyzdžiui, jei $a=5,\;b=8,$ tai santykis b:a=8/5=1.6. Todėl santykis b:a=1.6:1. Taip pat $c_{b}:c_{a}=1.6:1.$ Jei žinome pagrindo c ilgį, tai $c_{b}={\frac {1.6\cdot c}{1.6+1}},\;c_{a}={\frac {1\cdot c}{1.6+1}}.$

Žinodami kam lygi atkarpa $c_{b}$ arba $c_{a}$ galime rasti trikampio, sudaryto iš kraštinių a, b, c, plotą. Nes tada galime rasti aukštinę h taikydami Pitagoro teoremą $h={\sqrt {b^{2}-c_{b}^{2}}}$ arba $h={\sqrt {a^{2}-c_{a}^{2}}}.$ Taigi, plotas trikampio, sudaryto iš kraštinių a, b, c yra

$S={\frac {1}{2}}\cdot c\cdot h={\frac {1}{2}}\cdot c\cdot {\sqrt {a^{2}-c_{a}^{2}}}={\frac {1}{2}}\cdot c\cdot {\sqrt {a^{2}-{\frac {c^{2}}{({\frac {b}{a}}+1)^{2}}}}}.$

Pavyzdžiai

• Duotas trikampis ABC, kurio visos kraštinės lygios $a=b=c=5.$ Rasti trikampio ABC plotą.

Sprendimas.

$S={\frac {1}{2}}\cdot c\cdot {\sqrt {a^{2}-{\frac {c^{2}}{({\frac {b}{a}}+1)^{2}}}}}={\frac {1}{2}}\cdot 5\cdot {\sqrt {5^{2}-{\frac {5^{2}}{({\frac {5}{5}}+1)^{2}}}}}=$

$={\frac {1}{2}}\cdot 5\cdot {\sqrt {25-{\frac {25}{4}}}}={\frac {1}{2}}\cdot 5\cdot {\sqrt {\frac {100-25}{4}}}=$

$={\frac {5}{2}}{\sqrt {\frac {75}{4}}}={\frac {25{\sqrt {3}}}{4}}=10.82531755.$

• Duotas trikampis, kurio pagrindas $c=30.$ Kairė trikampio kraštinė yra $a=20.$ Dešinė trikampio kraštinė yra $b=25.$

Rasti trikampio sudaryto iš kraštinių a, b, c plotą.

Sprendimas.

$S={\frac {1}{2}}\cdot c\cdot {\sqrt {a^{2}-{\frac {c^{2}}{({\frac {b}{a}}+1)^{2}}}}}={\frac {1}{2}}\cdot 30\cdot {\sqrt {20^{2}-{\frac {30^{2}}{({\frac {25}{20}}+1)^{2}}}}}=$

$=15{\sqrt {400-{\frac {900}{({\frac {5}{4}}+1)^{2}}}}}=15{\sqrt {400-{\frac {900}{({\frac {5+4}{4}})^{2}}}}}=15{\sqrt {400-{\frac {900}{({\frac {9}{4}})^{2}}}}}=$

$=15{\sqrt {400-{\frac {900}{\frac {81}{16}}}}}=15{\sqrt {400-{\frac {100\cdot 16}{9}}}}=15{\sqrt {\frac {400\cdot 9-1600}{9}}}=$

$={\frac {15}{3}}{\sqrt {3600-1600}}=5{\sqrt {2000}}=223.6067977.$

Ka cia puslapyje bandyta pasakyti

a=AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}; b=AC=\sqrt{(x_3-x_1)^2+(y_3-y_1)^2+(z_3-z_1)^2}; c=BC=\sqrt{(x_3-x_2)^2+(y_3-y_2)^2+(z_3-z_2)^2}. a^2=AB^2=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2=x_2^2-2 x_2 x_1+x_1^2+y_2^2-2 y_2 y_1+y_1^2+z_2^2-2 z_2 z_1+z_1^2; b^2=AC^2=(x_3-x_1)^2+(y_3-y_1)^2+(z_3-z_1)^2=x_3^2-2 x_3 x_1+x_1^2+y_3^2-2 y_3 y_1+y_1^2+z_3^2-2 z_3 z_1+z_1^2; c^2=BC^2=(x_3-x_2)^2+(y_3-y_2)^2+(z_3-z_2)^2=x_3^2-2 x_3 x_2+x_2^2+y_3^2-2 y_3 y_2+y_2^2+z_3^2-2 z_3 z_2+z_2^2. Iš Herono formulės turime išvedę, kad trikampio ABC plotas yra: S_{\Delta ABC}=\frac{1}{4}\cdot \sqrt{2 (a^2 c^2+ b^2 c^2+ a^2 b^2)-c^4-a^4-b^4}. S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h=\frac{1}{2}\cdot a\cdot \sqrt{c^2-\left(\frac{c^2+a^2-b^2}{2a}\right)^2}=\frac{1}{4}\cdot \sqrt{ 4a^2 c^2-(c^2+a^2-b^2)^2}. Taigi turime: S_{\Delta ABC}=\frac{1}{4}\sqrt{2 (a^2 c^2+ b^2 c^2+ a^2 b^2)-c^4-a^4-b^4}= =\frac{1}{4}\sqrt{2 ([(x_2+ b^2 c^2+ a^2 b^2)-c^4-a^4-b^4}= 18

$a=AB={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}};$

$b=AC={\sqrt {(x_{3}-x_{1})^{2}+(y_{3}-y_{1})^{2}+(z_{3}-z_{1})^{2}}};$

$c=BC={\sqrt {(x_{3}-x_{2})^{2}+(y_{3}-y_{2})^{2}+(z_{3}-z_{2})^{2}}}.$

$a^{2}=AB^{2}=(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}=x_{2}^{2}-2x_{2}x_{1}+x_{1}^{2}+y_{2}^{2}-2y_{2}y_{1}+y_{1}^{2}+z_{2}^{2}-2z_{2}z_{1}+z_{1}^{2};$

$b^{2}=AC^{2}=(x_{3}-x_{1})^{2}+(y_{3}-y_{1})^{2}+(z_{3}-z_{1})^{2}=x_{3}^{2}-2x_{3}x_{1}+x_{1}^{2}+y_{3}^{2}-2y_{3}y_{1}+y_{1}^{2}+z_{3}^{2}-2z_{3}z_{1}+z_{1}^{2};$

$c^{2}=BC^{2}=(x_{3}-x_{2})^{2}+(y_{3}-y_{2})^{2}+(z_{3}-z_{2})^{2}=x_{3}^{2}-2x_{3}x_{2}+x_{2}^{2}+y_{3}^{2}-2y_{3}y_{2}+y_{2}^{2}+z_{3}^{2}-2z_{3}z_{2}+z_{2}^{2}.$

Iš Herono formulės turime išvedę, kad trikampio ABC plotas yra:

$S_{\Delta ABC}={\frac {1}{4}}\cdot {\sqrt {2(a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}b^{2})-c^{4}-a^{4}-b^{4}}}.$

$S_{\Delta ABC}={\frac {1}{2}}\cdot a\cdot h={\frac {1}{2}}\cdot a\cdot {\sqrt {c^{2}-\left({\frac {c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2a}}\right)^{2}}}={\frac {1}{4}}\cdot {\sqrt {4a^{2}c^{2}-(c^{2}+a^{2}-b^{2})^{2}}}.$

Taigi turime:

$S_{\Delta ABC}={\frac {1}{4}}{\sqrt {2(a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}b^{2})-c^{4}-a^{4}-b^{4}}}=={\frac {1}{4}}{\sqrt {2([(x_{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}b^{2})-c^{4}-a^{4}-b^{4}}}=18$

Ir kitoks Herono formulės pavidalas

Herono formulės įrodymas

Turime trikampį ABC ir turime tokias kraštines CB=a, AB=c, AC=b. Iš kampo A nuleidžiame aukštinę h į ilgiausią trikampio kraštinę a, o toje vietoje kur susikerta aukštinė h su kraštine a yra taškas D. Tuomet DB=x ir CD=a-x. Iš pitagoro teoremos žinome, kad

$h={\sqrt {c^{2}-x^{2}}},$

$(a-x)^{2}=b^{2}-h^{2}.$

Tuomet $h$ iš pirmos lygties įstatome į antrąją lygtį ir gauname:

$(a-x)^{2}=b^{2}-({\sqrt {c^{2}-x^{2}}})^{2},$

$a^{2}-2ax+x^{2}=b^{2}-(c^{2}-x^{2}),$

$a^{2}-2ax+x^{2}=b^{2}-c^{2}+x^{2},$

$a^{2}-2ax=b^{2}-c^{2},$

$-2ax=b^{2}-c^{2}-a^{2},$

$2ax=c^{2}+a^{2}-b^{2},$

$x={\frac {c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2a}}.$

Randame Trikampio ABC aukšinę:

$h={\sqrt {c^{2}-x^{2}}}={\sqrt {c^{2}-\left({\frac {c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2a}}\right)^{2}}}={\sqrt {c^{2}-{\frac {(c^{2}+a^{2}-b^{2})^{2}}{4a^{2}}}}}={\sqrt {c^{2}-{\frac {(c^{4}+a^{2}c^{2}-b^{2}c^{2})+(a^{2}c^{2}+a^{4}-a^{2}b^{2})-b^{2}c^{2}-a^{2}b^{2}+b^{4}}{4a^{2}}}}}=$

$={\sqrt {c^{2}-{\frac {c^{4}+2a^{2}c^{2}-2b^{2}c^{2}+a^{4}-2a^{2}b^{2}+b^{4}}{4a^{2}}}}}={\sqrt {\frac {4a^{2}c^{2}-(c^{4}+2a^{2}c^{2}-2b^{2}c^{2}+a^{4}-2a^{2}b^{2}+b^{4})}{4a^{2}}}}=$

$={\sqrt {\frac {4a^{2}c^{2}-c^{4}-2a^{2}c^{2}+2b^{2}c^{2}-a^{4}+2a^{2}b^{2}-b^{4}}{4a^{2}}}}={\sqrt {\frac {2a^{2}c^{2}-c^{4}+2b^{2}c^{2}-a^{4}+2a^{2}b^{2}-b^{4}}{4a^{2}}}}={\sqrt {\frac {2(a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}b^{2})-c^{4}-a^{4}-b^{4}}{4a^{2}}}}=$

$={\sqrt {\frac {-(-2a^{2}c^{2}-2b^{2}c^{2}-2a^{2}b^{2}+c^{4}+a^{4}+b^{4})}{4a^{2}}}}={\sqrt {\frac {-(c^{2}(-2a^{2}-2b^{2}+c^{2})+(a^{2}-b^{2})^{2})}{4a^{2}}}}={\frac {\sqrt {c^{2}(2(a^{2}+b^{2})-c^{2})-(a^{2}-b^{2})^{2}}}{2a}}.$

$h={\sqrt {c^{2}-x^{2}}}={\sqrt {(c-x)(c+x)}}={\sqrt {(c-{\frac {c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2a}})(c+{\frac {c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2a}})}}={\sqrt {({\frac {2ac-(c^{2}+a^{2}-b^{2})}{2a}})({\frac {2ac+c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2a}})}}=$

$={\sqrt {({\frac {2ac-c^{2}-a^{2}+b^{2}}{2a}})({\frac {(c+a)^{2}-b^{2}}{2a}})}}={\sqrt {({\frac {-(a^{2}-2ac+c^{2})+b^{2}}{2a}})({\frac {((c+a)-b)((c+a)+b)}{2a}})}}=$

$={\sqrt {({\frac {b^{2}-(a-c)^{2}}{2a}})({\frac {(c+a-b)(c+a+b)}{2a}})}}={\sqrt {({\frac {(b-(a-c))(b+(a-c))}{2a}})({\frac {(c+a-b)(c+a+b)}{2a}})}}=$

$={\sqrt {({\frac {(b-a+c)(b+a-c)}{2a}})({\frac {(c+a-b)(c+a+b)}{2a}})}}={\sqrt {\frac {(b-a+c)(b+a-c)(c+a-b)2p}{4a^{2}}}}={\sqrt {\frac {2(p-a)2(p-c)2(p-b)2p}{4a^{2}}}}=$

$={\sqrt {\frac {16p(p-a)(p-c)(p-b)}{4a^{2}}}}={\sqrt {\frac {4p(p-a)(p-c)(p-b)}{a^{2}}}}.$

p=(a+b+c)/2, 2p=(a+b+c), 2p-2a=a+b+c-2a=-a+b+c, 2(p-a)=-a+b+c ir taip pat su kitais.

Dabar galime surasti trikampio plotą:

$S_{\Delta ABC}={\frac {1}{2}}\cdot a\cdot h={\frac {1}{2}}\cdot a\cdot {\sqrt {c^{2}-\left({\frac {c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2a}}\right)^{2}}}.$

$S_{\Delta ABC}={\frac {1}{2}}\cdot a\cdot h={\frac {1}{2}}\cdot a\cdot {\sqrt {\frac {2(a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}b^{2})-c^{4}-a^{4}-b^{4}}{4a^{2}}}}={\frac {1}{4}}\cdot {\sqrt {2(a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}b^{2})-c^{4}-a^{4}-b^{4}}}.$

• Pavyzdis, kai a=6, h=4, b=5, c=5, tai S=a*h/2=6*4/2=12. O taip pat ir:

$S_{\Delta }={\frac {1}{2}}\cdot a\cdot {\sqrt {c^{2}-\left({\frac {c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2a}}\right)^{2}}}={\frac {1}{2}}\cdot 6\cdot {\sqrt {5^{2}-\left({\frac {5^{2}+6^{2}-5^{2}}{2\cdot 6}}\right)^{2}}}=3\cdot {\sqrt {25-\left({\frac {25+36-25}{12}}\right)^{2}}}=3\cdot {\sqrt {25-\left({\frac {36}{12}}\right)^{2}}}=$

$=3\cdot {\sqrt {25-3^{2}}}=3\cdot {\sqrt {25-9}}=3\cdot {\sqrt {16}}=3\cdot 4=12.$

• Pavyzdis. Duotas status trikampis ABC, kurio vienas statinis yra a=3, o kitas statinis yra b=h=4, o įžambinė c=5. Trikampio plotas yra S=a*b/2=3*4/2=12/2=6. Dabar rasime ši plotą per Herono formulę:

$S_{\Delta ABC}={\frac {1}{2}}\cdot a\cdot {\sqrt {c^{2}-\left({\frac {c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2a}}\right)^{2}}}={\frac {1}{2}}\cdot 3\cdot {\sqrt {5^{2}-\left({\frac {5^{2}+3^{2}-4^{2}}{2\cdot 3}}\right)^{2}}}={\frac {3}{2}}\cdot {\sqrt {25-\left({\frac {25+9-16}{6}}\right)^{2}}}={\frac {3}{2}}\cdot {\sqrt {25-\left({\frac {18}{6}}\right)^{2}}}=$

$={\frac {3}{2}}\cdot {\sqrt {25-3^{2}}}={\frac {3}{2}}\cdot {\sqrt {25-9}}={\frac {3}{2}}\cdot {\sqrt {16}}={\frac {3}{2}}\cdot 4=3\cdot 2=6.$

$S_{\Delta ABC}={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}={\sqrt {6(6-3)(6-4)(6-3)}}={\sqrt {6\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}={\sqrt {36}}=6,$

$p={\frac {P}{2}}={\frac {a+b+c}{2}}={\frac {3+4+5}{2}}={\frac {12}{2}}=6.$