Aptarimas : Trigonometrinių, rodiklinės ir hiperbolinių funkcijų reikšmių skaičiavimas
Pakelsime Lopitalio autoritetą, apskaičiuodami tą pačią ribą per Lopitalio taisyklę ir naudodami kalkuliatorių.
Turime funkciją
y
=
ch
x
{\displaystyle y=\operatorname {ch} {\sqrt {x}}}
y
′
=
sh
x
2
x
.
{\displaystyle y'={\frac {\operatorname {sh} {\sqrt {x}}}{2{\sqrt {x}}}}.}
lim
x
→
0
+
0
y
′
(
x
)
.
{\displaystyle \lim _{x\to 0+0}y'(x).}
lim
x
→
0
+
0
sh
x
2
x
=
lim
x
→
0
+
0
(
sh
x
)
′
(
2
x
)
′
=
lim
x
→
0
+
0
1
2
x
ch
x
2
⋅
1
2
x
=
lim
x
→
0
+
0
1
2
ch
x
=
lim
x
→
0
+
0
1
2
⋅
e
x
+
e
−
x
2
=
1
4
(
e
0
+
e
−
0
)
=
1
4
(
1
+
1
e
0
)
=
1
2
.
{\displaystyle \lim _{x\to 0+0}{\frac {\operatorname {sh} {\sqrt {x}}}{2{\sqrt {x}}}}=\lim _{x\to 0+0}{\frac {(\operatorname {sh} {\sqrt {x}})'}{(2{\sqrt {x}})'}}=\lim _{x\to 0+0}{\frac {{\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}\operatorname {ch} {\sqrt {x}}}{2\cdot {\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}}}=\lim _{x\to 0+0}{\frac {1}{2}}\operatorname {ch} {\sqrt {x}}=\lim _{x\to 0+0}{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {e^{\sqrt {x}}+e^{-{\sqrt {x}}}}{2}}={\frac {1}{4}}(e^{0}+e^{-0})={\frac {1}{4}}(1+{\frac {1}{e^{0}}})={\frac {1}{2}}.}
Dabar apskaičiuosime tą pačią ribą su Windows 10 kalkuliatorium. Vietoje x parinksime
x
=
10
−
8
.
{\displaystyle x=10^{-8}.}
x
=
10
−
8
=
10
−
4
=
0.0001.
{\displaystyle {\sqrt {x}}={\sqrt {10^{-8}}}=10^{-4}=0.0001.}
y
′
=
sh
x
2
x
=
sh
(
0.0001
)
2
⋅
0.0001
=
e
0.0001
−
e
−
0.0001
2
⋅
1
0.0002
=
e
0.0001
−
e
−
0.0001
0.0004
=
{\displaystyle y'={\frac {\operatorname {sh} {\sqrt {x}}}{2{\sqrt {x}}}}={\frac {\operatorname {sh} (0.0001)}{2\cdot 0.0001}}={\frac {e^{0.0001}-e^{-0.0001}}{2}}\cdot {\frac {1}{0.0002}}={\frac {e^{0.0001}-e^{-0.0001}}{0.0004}}=}
= (2.7182818284590452353602874713527^0.0001 - 1/2.7182818284590452353602874713527^0.0001)/0.0004 =
= 0.50000000083333333375000000009921.
(Šitą eilutę (2.7182818284590452353602874713527^0.0001 - 1/2.7182818284590452353602874713527^0.0001)/0.0004 = įdėjus į Windows 10 kalkuliatoriaus langelį, kur rodo skaičius, gaunamas atsakymas 0.50000000083333333375000000009921 .)
Matome, kad kalkuliatoriaus atsakymas labai mažai skiriasi nuo atsakymo, gauto taikant Lopitalio taisyklę. Įstačius x >0 reikšmę dar artimesnę nuliui, gautume dar panašesnį atsakymą į 1/2.
O štai, jeigu vietoje e įrašyti 3, tai gaunamas jau šiek tiek kitoks atsakymas:
(3^0.0001 - 1/3^0.0001)/0.0004 = 0.549306145439028979817702412705. Grįžti į "Trigonometrinių, rodiklinės ir hiperbolinių funkcijų reikšmių skaičiavimas" puslapį.
