Atverti pagrindinį meniu

Determinantastiesinės algebros funkcija, kiekvienai kvadratinei n×n matricai A priskirianti skaliarinę reikšmę det(A). Determinantai svarbūs integraliniame ir diferencialiniame skaičiavime, geometrijoje, kitose matematikos srityse.

Determinanto formulė yra tokia:

kur

  • ir – determinanto žymėjimas.



Antros eilės determinantasKeisti

2×2 matrica

 

turi determinantą

 .

Determinantas taikomas spręsti sistemą su dviem nežinomaisiais:

 
 

Surandamas determinantas:

 

Jei determinantas nelygus nuliui, tai sistema turi tik vieną sprendinį:

 
 

kur

 
 

Formulės vadinamos Kramerio formulėmis. Jei D=0, bet   arba   nelygu 0, tai sistema sprendinių neturi (yra nesuderinta). Jei  , tai sistema turi be galo daug sprendinių (yra neapibrėžta).

Pavyzdys, kaip galima išspręsti sistemą surandant determinantą. Sistema yra tokia:

{x+2y=8,
{3x - y=3.

Sistemos determinantas yra

 

Toliau į determinanto pirmą stulpelį įstačius dešines lygties puses, randamas

 

Panašiai randamas

 
   

Determinantas 3 3Keisti

 
sudedami
 
atimami

 

 

Didesnėms matricoms determinanto skaičiavimo formulė yra kitokia.

Sistemų sprendimas taikant Kramerio formulesKeisti

Pagal Kramerio formulę galima surasti sistemos:

 
 
 

sprendinius:

 
 
 

kur

 
 
 

Tokiu būdu randami sistemos sprendiniai ir didesnėms matricoms.


  • Remdamiesi Kramerio formulėmis, išspręskime tiesinių lygčių sistemą
 
 
 
 

Kur trečias stulpelis buvo padaugintas iš (-1) ir pridėtas prie pirmo stulpelio (trečias stulpelis nesikeičia).

 

Kur trečias stulpelis buvo pridėtas prie antro stulpelio.

 

kur trečias stulpelis buvo padaugintas iš 2 ir pridėtas prie pirmojo stulpelio.

 

kur trečias stuleplis buvo padaugintas iš (-1) ir pridėtas prie pirmo stulpelio.

 

Lygčių sprendimas atvirkštinės matricos metoduKeisti

Determinanto radimas naudojant adjunktą:

 

kur 2 ir 3 virš (-1) yra antra eilutė ir trečias stulpelis.

 
 
 
 
 

Tiesinių lygčių sistemos sprendimo metodas vadinamas atvirkštinės matricos metodu arba matricų metodu:

 


Išspręsime sistemą

 
 
 

matricų metodu.

 

 

  Kur antrą eilutę padauginome iš (-3) ir pridėjome prie pirmos eilutės, ir antrą eilutę padauginome iš (-6) ir pridėjome prie trečios eilutės.

 
 
 
 
 
     

Lygčių sistemos sprendimas Gauso metoduKeisti

Pavyzdžiui, turime lygčių sistemą:

 
 
 

Išplėstinės matricos A pirmoje eilutėje parašome trečios eilutės koeficientus, o pirmą ir antrą eilutes nustumiame žemyn:

 

Šios pertvarkytos išplėstinės matricos   pirmą eilutę dauginame iš (-3) ir pridedame prie antros eilutės ir taip pat pirmą eilutę dauginame iš (-2) ir pridedame prie trečios eilutės ir tada gauname tokią išplėstinę matricą:

 

Toliau matricos antrą eilutę dauginame iš (-2) ir pridedame prie trečios eilutės:

 

Toliau trečią eilutę dauginame iš 7 ir pridedame prie antros eilutės ir gauname:

 

Toliau antrą ir trečią eilutes sukeičiame vietomis:

 

Gauta matrica apibūdina lygčių sistemą

 
 
 
Iš paskutinės lygties  
Iš antros lygties surandame  
Iš pirmos lygties randame  
Lygčių sistema turi vieną sprendinį (2; 1; -3).

Ketvirtos eilės determinantasKeisti

Ketvirtos eilės determinantas gali būti paverstas trečios eilės determinantu, pavyzdžiui:

 

  Trečios eilutės antras stulpelis čia lygus 0.