Kvadratinė lygtis

Kvadratinė lygtis su realiaisiais koeficientais

keisti
Kvadratinė lygtis   pakeičiama lygtimi   padalinus lygtį   iš koeficiento a.
Duota kvadratinė lygtis:
 
Ją perrašome taip:
 
Čia  
Todėl:
 
 
 
 
 
 
 
 


Kai lygties   diskriminantas   daugiau už nulį (D>0). tai lygtis (1) turi dvi realiąsias šaknis. Kai lygties (1) diskriminantas lygus nuliui (D=0), tai lygtis (1) turi dvi vienodas realiąsias šaknis. Kai lygties (1) diskriminantas yra mažesnis už nulį (D<0), tai (1) lygtis turi dvi kompleksines jungtines šaknis.
  • Pavyzdis. Rasti sprendinius lygties
 
Sprendimas.
 
 
 
Patikriname, kad
 
 
 
 
ir
 
 
 
 

Bet kokio laipsnio lygties su realiaisiais koeficientais išskaidymas paprasčiausiais daugikliais

keisti
Tegu duota n-to laipsnio lygtis
 
Padaliję šią lygtį iš koeficiento   gausime redukuotą n-to laipsnio lygtį:
 
čia  
Jei (2) lygties laipsnis n yra nelyginis skaičius, tai (2) lygtis turi bent vieną realiąją šaknį. Iš tiesų, padaliję (2) lygtį iš   gausime:
 
Kai x reikšmė teigiama ir labai didelė ( ), tai (3) lygties polinomas
 
yra teigiamas realusis skaičius. O kai x reikšmė neigiama, bet jos modulis yra labai didelis ( ), tai (4) polinomas yra neigiamas realusis skaičius. Kadangi (4) polinomas f(x) yra tolydi funkcija, tai tarp šių neigiamos ir teigiamos reikšmių yra toks taškas   kuriame   t. y. polinomas f(x) turi bent vieną realiąją šaknį.
Polinomą su realiaisiais koeficientais
 
galima išskaidyti neskaidžiais daugikliais realiųjų skaičių kūne šitaip:
 
 
Čia   yra polinomo (6) šaknys, kurių kartotinumas atitinkamai yra   Kvadratiniai polinomai   su   neturi realiųjų šaknų, o   yra šių kvadratinių polinomų atitinkamas laipsnis, kuris gali būti 0 arba natūralusis skaičius.
Iš aukščiau žinome, kad kvadratinių trinarių   neturinčių realiųjų šaknų diskriminantas yra neigiamas skaičius (D<0) ir kad jų šaknys yra kompleksiniai jungtiniai skaičiai. Kad tuo įsitikinti tarkime, kad polinomo   viena šaknis yra   o kita   Tada polinomą   galima išskaidyti tokia sandauga:
 
Pažymėję   ir   gavome, kad polinomo   koeficientai yra realieji skaičiai ir kad šis kvadratinis polinomas turi dvi jungtines kompleksines šaknis   ir  
Iš to galima padaryti išvada, kad (5) polinomas n-to laipsnio su realiaisiais koeficientais visada turi arba visas realiąsias šaknis, arba, jei jo laipsnis yra nelyginis skaičius, bent vieną realiąją šaknį, o kitas kompleksines jungtines šaknis. Arba, jei (5) polinomo laipsnis yra lyginis skaičius, turi dalį realiųjų šaknų ir dalį kompleksinių jungtinių šaknų, arba turi vien tik kompleksines jungtines šaknis.
Bet kuriuo atveju n-to laipsnio polinomas f(x) turi n šaknų, jei skaičiuot visas realiąsias šaknis ir visas kompleksines jungtines šaknis tiek kartų koks yra tų šaknų kartotinumas.
Dabar galime (6) polinomą [kompleksinių skaičių kūne] išskaidyti tiesiniais (pirmo laipsnio) daugikliais, pažymėję kiekvieno polinomo   ( ) jungtines kompleksines šaknis per   ir   ( ). Tada šis kvadratinis polinomas užrašomas taip:
 
O (6) polinomas f(x) su realiaisiais koeficientais išskaidomas ir užrašomas taip:
 
 
 
Čia   yra polinomo (8) realiosios šaknys, kurių kartotinumas atitinkamai yra   O   yra kompleksinės polinomo (8) šaknys, kurių kartotinumas atitinkamai yra  
Be to,   T. y. visų (8) polinomo f(x) tiesinių daugiklių laipsnių suma lygi (8) polinomo f(x) laipsniui n.

Kvadratinė lygtis su kompleksiniais koeficientais

keisti
Kvadratinė lygtis su kompleksiniais koeficientais niekada neturi šaknų, kurios būtų kompleksiniai jungtiniai skaičiai (žiūrėti (7) išskaidymą). Taip pat kvadratinė lygtis su kompleksiniais koeficientais niekada neturi dviejų realiųjų šaknų, nes dauginant tiesinius daugiklius   (kur   ir   realiosios šaknys kvadratinės lygties  ), kuriuose yra tik realiejie skaičiai (  ir  ), niekada nebus gauti iš realiųjų skaičių kompleksiniai skaičiai (p ir q). Nes nėra tokių realiųjų skaičių, kuriuos sudauginus gautųsi kompleksinis skaičius.
  • Pavyzdys. Išspręsti lygtį
 
Pasinaudoję formule
  gauname:
 
Pasinaudosime šaknies traukimo formule
 
Tada
 
 
 
 
Patikriname:
 
Įstatę   vietoje   gauname:
 
 
 
Patikriname:
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Kvadratinė lygtis su kompleksiniais koeficientais gali turėti vieną šaknį realiąją, o kitą kompleksinę. Tokia lygtis, pavyzdžiui, yra ši:
 
čia  

Bet kokio laipsnio lygtis su kompleksiniais koeficientais

keisti
Tegu turime n-to laipsnio lygtį
 
kurios paskutinis koeficientas (laisvasis narys)   yra kompleksinis skaičius, o visi kiti (9) lygties koeficientai yra realieji skaičiai. Tada išeina, kad (9) lygtis turi bent vieną kompleksinę šaknį (nes dauginant realiuosius skaičius negalima gaut kompleksinio skaičiaus). Pažymėkime tą kompleksinę šaknį   Jei įstatysime   šaknį į (9) lygties polinomą be laisvojo nario   tai gausime
 
O jeigu įstatysime į polinomą
 
vietoje x, skaičiaus   jungtinį kompleksinį skaičių   tai, pagal jungtinių kompleksinių skaičių savybes, gausime
 
Iš (12) akivaizdu, kad   nėra lygties (9) šaknis, nes
 
Bet jeigu paskutinį (9) lygties kompleksinį koeficientą   pakeisime jam jungtiniu kompleksiniu koeficientu   tai   bus (9) lygties šaknimi. Ši taisyklė galioja ir kai visi (9) lygties koeficientai yra kompleksiniai skaičiai, ir kai tik dalis (9) lygties koeficientų yra kompleksiniai skaičiai. Tai yra, jeigu
 
tai
 
Šis rezultatas išpaukia iš jungtinių kompleksinių skaičių savybių, kaip parašyta žemiau.
Jeigu skaičius   kokiu nors budu išreikštas per kompleksinius skaičius   taikant sudėtį, daugybą, atimtį ir dalybą, tai pakeičiant visus skaičius   į jiems jungtinius (pakeičiant   į  ), mes gausime skaičių jungtinį skaičiui   (gausime  ).
Savaime aišku, kompleksinis skaičius lygus nuliui tada ir tik tada, kai jo jungtinis skaičius lygus nuliui.
Realieji skaičiai yra patys sau jungtiniai.
Todėl, jei (9) lygtis turi bent vieną kompleksinį koeficientą, ji turi ir bent vieną kompleksinę šaknį. Ir bendru atveju (9) lygtis su visais ar dalim kompleksinių koeficientų (kai kita dalis lygties (9) koeficientų yra realieji skaičiai) gali neturėti jungtinių kompleksinių šaknų, o tik atskiras (nejungtines) kompleksines šaknis ir realiąsias šaknis. Taipogi lygtis (9) su visais ar dalim kompleksinių koeficientų gali turėti ir nejungtines kompleksines šaknis, ir jungtines kompleksines šaknis, ir realiąsias šaknis.
Pastebėsime, kad jei (9) lygties laisvasis narys   yra kompleksinis skaičius, o visi kiti jos koeficientai yra realieji skaičiai, tai (9) lygtis neturi jungtinių kompleksinių sprendinių ir neturi nei vieno realiojo sprendinio (nes keliant laipsniu realųjį sprendinį [jei tarsim, kad toks yra] ir visus laipsnius, padaugintus iš realiųjų koeficientų, sudedant negausime   kompleksinio skaičiaus). Tada visi tokios lygties sprendiniai (šaknys) yra nejungtiniai kompleksiniai skaičiai.
Bet kuriuo atveju n-to laipsnio polinomas
 
su kompleksiniais koeficientais turi n šaknų. Žinoma, (16) polinomas gali turėti tik vieną kompleksinę šaknį, o visos kitos šaknys gali būti realieji skaičiai. Nes, pavyzdžiui, įmanomas toks (16) polinomo išskaidymas (pirmo laipsnio daugikliais), kai n=4:
 
čia   yra realiosios (17) polinomo f(x) šaknys, o   yra kompleksinė (17) polinomo f(x) šaknis.

Polinomų šaknų išreiškimas per tų polinomų koeficientus

keisti
Tiktai kvadratinės lygties, kūbinės lygties ir ketvirto laipsnio lygties šaknis (sprendinius) galima išreikšti per tų lygčių koeficientus. Algebroje yra įrodyta, kad penkto laipsnio ir aukštesnių laipsnių lygčių šaknis negalima išreikšti per savo koeficientus, taikant įvairaus laipsnio šaknis (sakoma, negalima išreikšti šaknis (sprendinius) per radikalus), kaip tai daroma su antro, trečio ir ketvirto laipsnio lygtimis.
Bet yra apytikslių bet kokio laipsnio polinomų šaknų radimo metodų, taikant kuriuos galima rasti šaknis bet kokiu norimu tikslumu. Šie metodai pagrinde taikomi polinomams su realiaisiais koeficientais ir randa tik realiąsias šaknis (nes jų dažniausiai ir reikia). Kompleksinių šaknų radimo metodai yra griozdiški.