Pradinių klasių matematika/Natūralieji skaičiai

Kaip skaityti šią dalį?

Natūraliųjų skaičių apibrėžimas

Apibrėžimas. Natūraliuoju skaičiumi vadinsime vienodo dydžio sagučių krūvelę. Natūraliuoju skaičiumi vadinsime ir tokią krūvelę, kurioje sagučių nėra. Sagutę žymėsime simboliu ⚫. Krūvelę žymėsime stačiakampiu. Natūraliuosius skaičius žymėsime mažosiomis lotyniškomis raidėmis: a, b, c, ...

Pavyzdžiai

⚫

⚫⚫⚫⚫⚫ ⚫⚫⚫ ⚫⚫⚫⚫⚫⚫⚫⚫⚫⚫

⚫    ⚫          ⚫ ⚫⚫⚫   ⚫ ⚫⚫ ⚫⚫⚫     ⚫⚫⚫    ⚫⚫

Natūraliųjų skaičių palyginimas

Apibrėžimas. Dviejų natūraliųjų skaičių a ir b palyginimu vadinsime šią veiksmų seką:

1. Skaičius a ir b pavadinkime atitinkamai pirmuoju ir antruoju skaičiumi.
2. Jei ir pirmajame, ir antrajame skaičiuje dar yra sagučių, tai eikime į 3-ią žingsnį. Jei taip nėra, eikime į 4-ą žingsnį.
3. Išimkime sagutę iš pirmojo ir iš antrojo skaičių ir vėl eikime į 2-ąjį žingsnį.
4. Galimi tokie atvejai:
   1. Liko pirmojo skaičiaus sagučių, bet neliko antrojo skaičiaus sagučių. Tokiu atveju sakome, kad skaičius a yra didesnis už skaičių b (žymime a > b), o skaičius b yra mažesnis už skaičių a (žymime b < a).
   2. Neliko pirmojo skaičiaus sagučių ir neliko antrojo skaičiaus sagučių. Tokiu atveju sakome, kad skaičiai a ir b yra lygūs (žymime a = b).
   3. Neliko pirmojo skaičiaus sagučių, bet liko antrojo skaičiaus sagučių. Tokiu atveju sakome, kad skaičius a yra mažesnis už skaičių b (žymime a < b), o skaičius b yra didesnis už skaičių a (žymime b > a).

Dviejų skaičių palyginimo pavyzdys

Skaičius a		Skaičius b
⚫   ⚫    ⚫      ⚫⚫⚫		⚫⚫⚫⚫⚫

Atlikime pirmąjį palyginimo veiksmą, t. y. pervadinkime skaičius atitinkamai pirmuoju ir antruoju:

Pirmasis skaičius		Antrasis skaičius
⚫   ⚫    ⚫      ⚫⚫⚫		⚫⚫⚫⚫⚫

Tęskime. 2-as žinsgnis: kadangi ir pirmajame, ir antrajame skaičiuje yra sagučių, eikime į 3-ią žingsnį: išimkime po vieną sagutę iš pirmojo ir iš antrojo skaičių.

Pirmasis skaičius		Antrasis skaičius
⚫    ⚫      ⚫⚫⚫		⚫⚫⚫⚫

Vėl darome tą patį:

Pirmasis skaičius		Antrasis skaičius
⚫      ⚫⚫⚫		⚫⚫⚫

Vėl darome tą patį:

Pirmasis skaičius		Antrasis skaičius
⚫⚫⚫		⚫⚫

Vėl darome tą patį:

Pirmasis skaičius		Antrasis skaičius
⚫⚫		⚫

Vėl darome tą patį:

Pirmasis skaičius		Antrasis skaičius
⚫

Paskutinį kartą kartojame antrąjį žingsnį, bet pastebime, kad antrojo skaičiaus sagučių nebeliko. Taigi einame į 4-ąjį žingsnį. Turime atvejį, kai pirmojo skaičiaus sagučių liko, o antrojo — neliko, taigi skaičius a yra didesnis už skaičių b (a > b) ir skaičius b yra mažesnis už skaičių a (b < a).

Natūraliųjų skaičių suma ir skirtumas

Sumos apibrėžimas

Apibrėžimas. Natūraliųjų skaičių a ir b suma vadinsime natūralųjį skaičių, kuris sudaromas a ir b krūveles apjungiant į vieną. Sumos gavimo veiksmą vadinsime sudėtimi, skaičius a ir b vadinsime dėmenimis, sumos veiksmą žymėsime simboliu +, gautą natūralųjį skaičių žymėsime a + b.

Sumos pavyzdys

Skaičius a		Skaičius b		Skaičius a + b
⚫   ⚫    ⚫      ⚫⚫⚫		⚫⚫⚫⚫⚫		⚫   ⚫    ⚫      ⚫⚫⚫ ⚫⚫⚫⚫⚫

Skirtumo apibrėžimas

Apibrėžimas. Palyginkime natūraliuosius skaičiais a ir b:

• Jei gauname a > b arba a = b, tai skaičių a ir b skirtumu vadinsime pirmąjį skaičių, gautą pabaigus a ir b lyginimą.
• Jei gauname a < b, tai sakysime, kad skaičių a ir b skirtumas neegzistuoja.

Skirtumo gavimo veiksmą vadinsime atimtimi, skaičius a ir b vadinsime atitinkamai turiniu ir atėminiu, skirtumo veiksmą žymėsime simboliu -, gautą natūralųjį skaičių žymėsime a - b.

Skirtumo pavyzdys

Skaičius a		Skaičius b
⚫   ⚫    ⚫      ⚫⚫⚫		⚫⚫⚫⚫⚫

Atlikę šių skaičių palyginimą gauname tokias galutines krūveles:

Pirmasis skaičius		Antrasis skaičius
⚫

Taigi pagal skaičių palyginimo apibrėžimą a > b, o pagal skaičių skirtumo apibrėžimą gauname, kad a - b = ⚫.

Sudėties dėsniai

Sudėties jungiamumas (asociatyvumas)

Teiginys. $(a+b)+c=a+(b+c)$.

Pavyzdys. Tegu skaičiai $a,b,c$ yra tokios krūvelės kaip parodyta žemiau esančioje lentelėje.

Skaičius a		Skaičius b		Skaičius c
⚫⚫		⚫⚫⚫⚫		⚫⚫⚫⚫⚫⚫⚫

Apskaičiuosime sumą $(a+b)+c$. Pirma rasime sumą $a+b$, o po po to sudėsime $a+b$ ir $c$, kad gautume $(a+b)+c$.

Skaičius $a+b$   Skaičius $c$ ⚫⚫                  ⚫⚫⚫⚫          ⚫⚫⚫⚫⚫⚫⚫

Skaičius $(a+b)+c$ ⚫⚫                  ⚫⚫⚫⚫              ⚫⚫⚫⚫⚫⚫⚫

Dabar apskaičiuosime sumą $a+(b+c)$. Pirma rasime sumą $b+c$, o po po to sudėsime $a$ ir $b+c$, kad gautume $a+(b+c)$.

Skaičius $a$   Skaičius $b+c$ ⚫⚫   ⚫⚫⚫⚫             ⚫⚫⚫⚫⚫⚫⚫

Skaičius $a+(b+c)$ ⚫⚫                  ⚫⚫⚫⚫              ⚫⚫⚫⚫⚫⚫⚫

Akivaizdžiai matome, kad šiuo atveju lygybė $(a+b)+c=a+(b+c)$ galioja. Įsitikinkime, kad taip bus visuomet.

Įrodymas. Palyginkime skaičius $(a+b)+c$ ir $a+(b+c)$. Pirmąjį skaičių gavome pirma apjungę krūveles $a$ ir $b$, o vėliau prie gautos krūvelės prijungę $c$. Antrajį skaičių gavome pirma apjungę krūveles $b$ ir $c$, o vėliau prie gautos krūvelės prijungę $a$. Taigi tiek krūvelė $(a+b)+c$, tiek ir $a+(b+c)$ yra sudaryta iš krūvelių $a$, $b$ ir $c$. Lygindami šiuos skaičius tiek iš pirmojo, tiek iš antrojo skaičiaus išiminėsime pirmiausiau $a$ krūvelę sudariusias sagutes, po to $b$ ir galiausiai $c$. Kadangi galioja lygybės $a=a,b=b,c=c$, tai, baigus lyginti skaičius, sagučių neliks. Vadinasi, $(a+b)+c=a+(b+c)$. ∎

Sudėties perstatomumas (komutatyvumas)

Teiginys. $a+b=b+a$

Įrodymas. Akivaizdu.

Sudėtis su nuliu

Teiginys. a +    = a

Mažiausias ir didžiausias natūralusis skaičius

Apibrėžimas. Mažiausiu natūraliuoju skaičiumi vadinsime tokį natūralųjį skaičių a, su kuriuo nelygybė a > b bus neteisinga su bet kokiu natūraliuoju skaičiumi b. Atitinkamai didžiausiu natūraliuoju skaičiumi vadinsime tokį natūralųjį skaičių c, su kuriuo nelygybė c < d bus neteisinga su bet kokiu natūraliuoju skaičiumi d.

Teiginys.    yra mažiausias natūralusis skaičius.

Teiginys. Didžiausias natūralusis skaičius neegzistuoja.