Apibrėžimas. Seka vadinama nemažėjančia (nedidėjančia), jei kiekvienas tos sekos elementas ne mažesnis (ne didesnis) už pirmesnįjį elementą, t. y., jei su visais numeriais n teisinga nelygybė
().
Nemažėjančios ir nedidėjančios sekos vadinamos monotoninėmis sekomis. Jei monotoninės sekos elementai su bet kuriuo numeriu n tenkina nelygybę (), tai seka vadinama didėjančia (mažėjančia). Didėjančios ir mažėjančios sekos dar vadinamos griežtai monotoninėmis sekomis.
Monotoninės sekos yra aprėžtos arba iš viršaus, arba iš apačios; būtent, nedidėjančios sekos aprėžtos iš viršaus, o nemažėjančios aprėžtos iš apačios pirmaisiais savo elementais. Todėl nedidėjanti seka yra aprėžta iš abiejų pusių, kai ji aprėžta iš apačios, o nemažėjanti seka yra aprėžta iš abiejų pusių, kai ji aprėžta iš viršaus.
Pateiksime tris monotoninių sekų pavyzdžius.
1. Seka nedidėjanti. Ji aprėžta iš viršaus savo pirmuoju elementu, lygiu vienetui, o iš apačios - skaičiumi 0.
2. Seka nemažėjanti. Ji aprėžta iš apačios savo pirmuoju elementu, o iš viršaus neaprėžta.
3. Seka didėjanti. Ji aprėžta iš abiejų pusių: iš apačios pirmuoju elementu iš viršaus, pavyzdžiui, skaičiumi 1.
3.15 teorema. Jei nemažėjanti (nedidėjanti) seka aprėžta iš viršaus (iš apačios), tai ji konverguoja.
Pagal praeitą skirsnį seka atitinkanti 3.15 teoremos sąlygas, yra aprėžta. Todėl 3.15 teoremą galima trumpai formuluoti taip: jei monotoninė seka yra aprėžta iš abiejų pusių, tai ji konverguoja.
Įrodymas. Kadangi seka yra aprėžta, tai jos elementų aibė turi tikslųjį viršutinį rėžį ir tikslųjį apatinį rėžį Įrodysime štai ką: jei – nemažėjanti seka, tai jos riba yra minėtasis tikslusis viršutinis rėžis; jei – nedidėjanti seka, tai jos riba yra minėtasis tikslusis apatinis rėžis Išnagrinėsime tik nemažėjančią seką, nes samprotavimai apie nedidėjančią seką būtų analogiški.
Kadangi yra sekos elementų aibės tikslusis viršutinis rėžis, tai kiekvieną atitinka toks elementas kad ir (bet koks elementas ne didesnis už tikslųjį viršutinį rėžį t. y. ). Iš šitų nelygybių gauname nelygybes Kadangi – nemažėjanti seka, tai nelygybės yra teisingos, kai Iš to išplaukia, kad kai Anksčiau pabrėžėme, kad todėl, kai teisingos nelygybės iš kurių gauname nelygybę Vadinasi, įsitikinome, kad yra sekos riba. Teorema įrodyta.
1 pastaba. Monotoninės sekos aprėžtumas yra būtinas ir pakankamas jos konvergavimo požymis.
Iš tikrųjų, jei monotoninė seka yra aprėžta, tai pagal 3.15 teoremą ji konverguoja; jei monotoninė seka konverguoja, tai, remiantis 3.8 teorema, ji yra aprėžta.
2 pastaba. Konverguojanti seka gali ir nebūti monotoninė. Pavyzdžiui, seka apibrėžta formule konverguoja, o jos riba yra skaičius 0. Tačiau ši seka nėra monotoninė, nes po teigiamo elemento eina neigiamas, o po neigiamo – teigiamas.
3 pastaba. Jei yra nemažėjanti ir aprėžta seka, o – tos sekos riba, tai visi jos elementai tenkina nelygybę Nedidėjančios ir aprėžtos sekos konverguojančios į elementai tenkina nelygybę Kad šie teiginiai teisingi, įsitikinome, įrodinėdami 3.15 teoremą.
3.15 teoremos išvada. Sakykime, duota begalinė segmentų sistema Jei kiekvienas segmentas yra pirmesniajame*, o skirtumas (jį vadinsime segmento ilgiu) artėja prie nulio, kai (segmentų sistemą, turinčią šią savybę, vadinsime susitraukiančia), tai egzistuoja vienintelis taškas c, priklausantis visiems tos sistemos segmentams.
Įrodymas. Pirmiausia pastebėsime, kad taškas c, priklausantis visiems segmentams, gali būti tik vienas. Iš tikrųjų, jei būtų dar vienas taškas d, priklausantis visiems segmentams, tai segmentas ** [c; d] priklausytų visiems segmentams Bet tokiu atveju su bet kokiu numeriu n būtų teisingos nelygybės tai neįmanoma, nes kai Dabar įsitikinsime, kad taškas c, priklausantis visiems segmentams egzistuoja. Kadangi segmentų sistema yra susitraukianti, tai kairiųjų galų seka yra nemažėjanti, o dešiniųjų galų seka – nedidėjanti. Kadangi abi tos sekos yra aprėžtos (visi sekų ir elementai priklauso segmentui ), tai pagal 3.15 teoremą jos konverguoja. Iš to, kad skirtumas nyksta, išplaukia, jog minimosios sekos turi bendrą ribą. Tą ribą žymėkime raide c. Remiantis 3 pastaba, su bet kokiu numeriu n teisingos šios nelygybės: t. y. taškas c priklauso visiems segmentams
_______________
* Tai reiškia, kad
** Siekdami konkretumo, tariame, kad d > c.
3. Keli konverguojančių monotoninių sekų pavyzdžiai.keisti
Išnagrinėsime kelias sekas, kurių ribas apskaičiuosime, remdamiesi 3.15 teorema apie monotoninės sekos ribą. Be to, šiame skirsnyje susipažinsime su vienu bendru sekos ribos ieškojimo metodu, kai seka apibrėžiama rekurentine formule (Rekurentinė formulė (lot. recurrens – grįžtas) – formulė, pagal kurią -ąjį sekos elementą galima išreikšti jos pirmųjų n elementų reikšmėmis.).
1 pavyzdys. Tirsime seką kurios elementas lygus
(n radikalų). Tą pačią seką galima, savaime aišku, nusakyti šitokia rekurentine formule:
Norėdami įsitikinti, kad sekos riba egzistuoja, įrodysime, jog ta seka yra didėjanti ir aprėžta. Kad ta seka didėja, matyti tiesiog. Įsitikinsime, kad seka aprėžta iš viršaus skaičiumi A, kai A – didedsnysis iš dviejų skaičių a ir 2. Jei tai teiginys jau įrodytas. Jei tai, dešinėje nelygybės pusėje skaičių a pakeitę didesniu už jį skaičiumi gauname o iš čia Taigi įrodėme, kad seka aprėžta iš viršaus. Pagal 3.15 teoremą ta seka turi ribą. Pažymėkime tą ribą raide c. Savaime aišku, Iš rekurentinės formulės turime lygybę
iš kurios matyti, kad sekos ir sutampa. Todėl jos turi bendrą ribą. Kadangi pirmosios sekos riba lygi o antrosios (kai n varo į begalybę skaičiams ir tai praktiškai nesiskiria nuo ir abu yra labai arti c reikšmės (abu labai panašūs į c)), tai Iš čia, turėdami mintyje, kad randame c:
kadangi tai
2 pavyzdys. Tirsime seką kuria dažniausiai naudojamasi, apskaičiuojant teigiamo skaičiaus a kvadratinę šankį elektronine skaičiavimo mašina. Šita seka apibrėžiama tokia rekurentine formule:
Pirmuoju elementu čia galima laikyti bet kokį teigiamą skaičių.
Įrodysime, kad ta seka konverguoja, o jos riba yra skaičius Pirmiausia įsitikinsime, kad seka turi ribą. Tam užtenka įrodyti, kad seka yra aprėžta iš apačios ir kad, pradedant antruoju elementu, ji nedidėja. Iš pradžių įsitikinsime, kad seka aprėžta iš apačios. Sąlygoje pasakyta, jog o iš rekurentinės formulės, kai gauname Taip samprotaudami toliau, įsitikiname, kad visi yra teigiami.
Dabar įrodysime, kad visi kai tenkina nelygybę Parašę rekurentinę formulę šitaip: remsimės beveik savaime aiškia nelygybe *, kuri teisinga, kai (imame ). Gausime
kai t. y. pradedant numeriu
Pagaliau įsitikinsime, kad seka kai nedidėja. Iš rekurentinės formulės matome, kad o iš čia, turėdami mintyje, kad gauname arba (kai ).
Kadangi seka kai nedidėja ir yra aprėžta iš apačios skaičiumi (nes ), tai ji turi ribą, ne mažesnę kaip (žr. 3.15 ir 3.13 teoremą). Tą ribą pažymėkime raide c ir atsižvelgę į tai, kad o gauname lygybę
**,
Vadinasi,
1 pastaba. Spręsdami pateiktuosius pavyzdžius, naudojomės plačiai taikomu metodu sekos ribai skaičiuoti. Metodo esmė: iš pradžių įsitikinama, kad sekos riba egzistuoja, o paskui iš lygties, kuri gaunama iš rekurentinės formulės, vietoje ir įrašius ieškomąją sekos ribos reikšmę c, apskaičiuojama tos ribos skaitinė reikšmė.
2 pastaba. Rekurentinės formulės dažnai naudojamos skaičiavimo matematikoje, nes jas taikant daug kartų, atliekamos to paties tipo skaičiavimo operacijos, o tai labai patogu skaičiuojant elektroninėmis skaičiavimo mašinomis.
Išnagrinėtoji rekurentinė formulė aprašo, kaip įsitikinome, skaičiavimo algoritmą (įrodėme, kad ).
Vėliau bus tiriamas sekos konvergavimo į greitis. Įrodoma, kad, tinkamai pasirinkus pirmąjį artinį kai jau ketvirtasis artinys nuo skaičiaus skiriasi mažiau kaip
3 pavyzdys. Įsitikinsime, kad sekos kai o x – bet koks fiksuotas skaičius, riba lygi nuliui. Kai n – pakankamai didelis natūralusis skaičius, Todėl, pradedant kuriuo nors numeriu N, turi būti nes
Vadinasi, pradedant numeriu N, seka mažėja. Kadangi, be to, ji aprėžta iš apačios (pavyzdžiui nuliu), tai pagal 3.15 teoremą seka konverguoja. Tarkime, kad c yra tos sekos riba. Iš lygybės išplaukia, kad nes sekos riba lygi c, o sekos – nuliui.
_____________________
* Tą nelygybę įrodinėjant, užtenka pastebėti, kad, kai ji ekvivalenti nelygybei
** Ta lygybė gaunama iš rekurentinės formulės
Sekos, aproksimuojančios a šaknyje, konvergavimo greitiskeisti
Šio skyriaus 3 paragrafo 3 skirsnyje įrodėme, kad sekos apibrėžiamos rekurentine formule
kai o – bet koks teigiamas skaičius, riba lygi Skaičiaus artiniu galima laikyti bet kurį tos sekos narį Tokiu atveju, be abejo, reikia išsiaiškinti, koks turi būti įteracijų* skaičius n, kad artinys būtų nurodyto tikslumo.
______________
*Iteracija (lot. iteratio – kartojimas) – kokios nors matematinės operacijos pakartojimas. Šiuo atveju viena iteracija yra apskaičiavimas, kai žinomas pagal rekurentinę (3.10) formulę.
______________
Nagrinėsime seką apibrėžtą rekurentine (3.10) formule. Tos sekos elementą vadinsime skaičiaus n-uoju artiniu. Skaičių
vadinsime n-ojo artinio santykine paklaida.
Įrodysime teiginį apie santykinės paklaidos įvertinimą, remiantis pirmojo artinio santykine paklaida
Jei taip parinktas, kad tai su bet kokiu teisinga šitokia nelygybė:
[ kai gali būti lygus nuliui.]
Įrodymas. Iš (3.11) formulės
Remdamiesi (3.10) ir (3.13) formulėmis bei lygybe gauname
Kadangi tai savaime aišku, kad
Pagal sąlygą Iš to išplaukia nelygybės Bet tada iš (3.14) lygybės, kai išplaukia nelygybė Panašiai naudodamiesi (3.14) lygybe, kai įsitikiname, kad visi yra neneigiami ().
Iš (3.14) lygybės, nelygybių ir iš to, kad visi kai yra neneigiami, išplaukia nelygybė kai Iš čia gauname dešiniąją (3.12) nelygybę. Teiginys įrodytas.
[ ir taip toliau.]
Iš (3.12) nelygybių matyti, kad artinio po n iteracijų santykinė paklaida įvertinama, remiantis pirmojo artinio santykine paklaida ir iteracijų skaičiumi n. Vėliau įsitikinsime, jog tuo atveju, kai *, pirmąjį artinį galima pasirinkti taip, kad santykinės paklaidos modulis nebūtų didesnis už 0.05. Savaime aišku, taip pasirinkus santykinė paklaida tenkins įrodytojo teiginio sąlygas. Tuomet bus aišku ir koks turi būti iteracijų skaičius n, kad artinio santykinė paklaida nebūtų didesnė už duotąjį skaičių : tą skaičių n galima rasti iš nelygybės* (ta nelygybė gaunama tiesiog iš (3.12) nelygybių)
Taigi tarkime, kad Skaičių a išreikšime šitaip:
čia k – sveikasis neneigiamas skaičius, skaičius i lygus arba nuliui, arba vienetui, o skaičius M tenkina sąlygą
Pabrėšime, kad skaičius a išreiškiamas (3.16) pavidalu vieninteliu budu.
Pirmąjį artinį pasirinkime šitaip:
Įsitikinsime, kad tuo atveju, kai M – bet koks skaičius, tenkinantis (3.17) sąlygas, pirmojo artinio rasto pagal (3.18) formulę, santikinės paklaidos modulis ne didesnis kaip 0.05.
Įrodinėdami šį teiginį, remsimės tikslia santykinės paklaidos išraiška Iš (3.16) lygybės gauname todėl iš išraiškos ir iš (3.18) formulės
Kadangi skaičius i lygus arba nuliui, arba vienetui, o tai Todėl iš (3.19) lygybės išplaukia nelygybė
Pažymėkime raide X. Kadangi o i lygus arba nuliui, arba vienetui, tai visos galimos X reikšmės priklauso intervalui [1; 2):
Naudodami naujai įvestą žymėjimą, (3.20) nelygybę perrašysime šitaip:
Pagal (3.22) nelygybę maksimalioji reikšmė ne didesnė už maksimaliąją reiškinio reikšmę, kai X tenkina (3.21) sąlygas. Kad būtų aiškiau, išnagrinėkime funkcijos grafiką. Iš elementariosios matematikos kurso žinome, kad šios funkcijos grafikas yra parabolė (3.4 pav.)**, kurios viršūnė atitinka
[
]
Kadangi o tai X reikšmės, tenkinančios (3.21) sąlygas, atitinka reikšmėms, esančioms tarp ir Kitaip sakant,
Iš paskutinės ir (3.22) nelygybių gauname reikiamą įvertinimą:
Pastaba. Jei nurodyta, kad santykinė paklaida lygi tai, norint tokiu tikslumu apskaičiuoti bet kokio skaičiaus kvadratinę šaknį, reikia, suradus pagal (3.18) formulę, atlikti tik tris iteracijas (), nes
[ Pasirodo, santykinė paklaida visada bus mažesnė už po 3 iteracijų (). ]
_______________
* Jei tai ir Tada
** 3.4 paveiksle ašies Oy mastelis 20 kartų didesnis už ašies Ox mastelį.
Šiaip, skaičiuojant su kompiuteriu, santikinę paklaidą (arba ) reikia padauginti iš 10, nes procesoriaus x87 FPU be eksponentės dirba su skaičiais nuo 1.00000000000000001 iki 9.99999999999999999. Tada nebus prarastas tikslumas, jei įvertinsime, kad FPU paklaida yra
Čia skaičius v gali būti nulis arba teigiamas lyginis skaičius (v gali būti 0, 2, 4, 6, 8, 10 ir t. t.); skaičius j lygus arba nuliui arba vienetui.
Jeigu ištrauksime kvadratinę šaknį iš a, tai gausime:
Jegiu v nelygus nuliui, tai bus sveikasis skaičius su dvigubai mažiau nulių nei pas Jeigu tai tereikia apskaičiuoti kurį bus galima visada taikyti (2) formulėje. Vadinasi, tereikia mokėti greitai ištraukti šaknį iš skaičiaus p.
1) Jeigu tai pagal (3.16) formulę
iš čia
Tada pagal (3.18) formulę randame :
Ir toliau, darant iteracijas, apskaičiuojamas pagal (3.10) formulę:
2) Jeigu tai pagal (3.16) formulę
iš čia Tada
Pagal (3.18) formulę randame :
Matome, kad šiuo atveju artinio formulė tokia pati kaip ir 1) atveju.
Toliau skaičiuojama kaip ir pirmu atveju.
3) Jeigu tai pagal (3.16) formulę
iš čia Tada
Pagal (3.18) formulę randame :
Toliau skaičiuojama kaip ir pirmu atveju.
4) Jeigu tai pagal (3.16) formulę
iš čia Tada
Pagal (3.18) formulę randame :
Matome, kad šiuo atveju artinio formulė tokia pati kaip ir 3) atveju.
Toliau skaičiuojama kaip ir pirmu atveju.
Apibendrinant, skaičiaus () apskaičiavimui, taikoma reikšmė
t. y. tokia pati (su 16 pirmų tokių pačių skaitmenų) kaip skaičiui
Jeigu tai pažymėję galime, jei b didelis skaičius, apskaičiuoti pagal pateiktą aukščiau būdą. Apskaičiavę galime rasti taip:
Tačiau toks () skaičiavimo būdas nėra ekonomiškas, nes reikia atlikti dvi [papildomas] dalybos operacijas.
Pateiksime ekonomiškesnį, greitesnį skaičiavimo būdą. Jei tai a galima užrašyti taip:
Čia skaičius v gali būti nulis arba neigiamas lyginis skaičius (v gali būti 0, -2, -4, -6, ...); skaičius j lygus arba nuliui arba
Jeigu ištrauksime kvadratinę šaknį iš a, tai gausime:
Jeigu tai tereikia apskaičiuoti kurį bus galima visada taikyti (6) formulėje. Vadinasi, tereikia mokėti greitai ištraukti šaknį iš skaičiaus p. O toliau jau lengva pagal (6) formulę surasti kam lygus Kaip rasti pateikta aukščiau.
Kiek pamenu, skaičiau, kad jeigu norima padauginti skaičių dvejetainėje sistemoje iš 2, tai reikia visus bitus pastumti per vieną bito poziciją į kairę. O jeigu norima skaičių dvejetainėje sistemoje padalinti iš 2, tai reikia visus bitus pastumti viena bito pozicija į dešinę. Tokiu budu, jeigu skaičius j nelygus nuliui, tai reikia skaičių a padauginti iš 10, jei 0<a<1 (arba padauginti iš 0.1, jei a>1). Tada skaičius v bus lyginis skaičius. Toliau norint padalinti v iš 2, tereikia rodiklio v visus bitus pastumti per vieną bitą į dešinę. Taip mes gausime v/2. Ir nereikia procesoriaus FPU daryti sudetingų eksponentės dalybos operacijų (skaičiuojant šaknį iš kokio nors skaičiaus).
Lieka tik paslaptis kodėl procesorių FPU šaknies traukimo operacijai sunaudoja tiek pat arba tik apie 1.5 karto (priklausomai nuo procesoriaus) daugiau ciklų negu dalybos operacijai. Net jeigu artinį kažkokiu budu galima gauti su santykine paklaida apie tai vis tiek reikės dviejų iteracijų ir to pasekoje reikės dviejų dalybos operacijų (kiekvienoje iteracijoje yra viena dalybos operacija). Kad užtektų apskaičiuoti iš vienos iteracijos, artinio santykinė paklaida turi būti apie (kad gauti su santykine paklaida apie ). Jeigu kažkokiu budu galima pagal skaičių p pažiūrėt į kažkokią artinių lentelę, tai ta lentelė turės apie milijardą artinių ir užims apie 10 GB, t. y. apie 10 gigabaitų. Į procesorių akivaizdu to neįstatysi, tuo labiau, kad, pavyzdžiui, Pentium II/III naudojo 17...38 ciklus dalybos operacijai ir 27...50 ciklų šaknies traukimo operacijai (tik apie 1.5 karto daugiau ciklų šakniai nei dalybai). Tais laikais ir 1 MB (megabaito) kokios nors atminties (pvz., cache atminties) įdėjimas į procesorių buvo techniškai neįmanomas ar sunkiai pasiekiamas dalykas.
Kadangi artinio skaičiavimui [pateiktam aukščiau] nereikia daryti dalybos operacijos, tai galbūt yra, tarkim, apie 100 ar 1000 artinio skaičiavimo grupių skaičiui Kaip matėme, tik dviejų grupių (1<p<4 ir ) užtenka skaičiavimui, kad gauti pirmo artinio santykinę paklaidą Jeigu sukurti apie 10 tokių artinio grupių (1<p<2, 2<p<3, 3<p<4, ..., 9<p<10) arba apie 100 tokių artinio grupių (1<p<1.1, 1.1<p<1.2, 1.2<p<1.3, ..., 9.9<p<10), tai peršasi mintis, kad 10-iai grupių tikslumas gali būti apie o šimtui tokių grupių santykinės paklaidos tikslumas gali būti apie Tik tai gali užimti darbo suradimui artinio formulės kiekvienai grupei (tokia formulė padidinanti tikslumą siauro/trumpo intervalo grupei turėtų egzistuot matematiškai mąstant ir lažinantis...). Tik gal tikslumo padidėjimas gali būti ne toks žymus, kai grupių padaugėja apie 10 kartų (arba 100 kartų), nežinau...
Kitas klausimas yra, kaip kiekvieną skaičių p nusiusti į jį atitinkančią vieną iš 10 (ar vieną iš 100) grupę (kad paskui gauti artinį ). Programuotojas sakytų, kad reikia vidutiniškai praifint 5 kartus, jei yra 10 grupių (arba ~50 kartų, jei yra 100 grupių). Pavyzdžiui, jei yra skaičius 3.5346, tai pirmą kartą paklaust ar skaičius p [jei yra 10 grupių] yra mažiau už 2, antrą kartą paklaust ar skaičius p yra mažiau už 3 ir trečią kartą palyginus 3.5346 su 4 nustatoma, kad skaičius p patenka į trečią grupę, nes yra mažiau už 4. Bet su ifinimais šaknies skaičiavimai bus dar ilgesni. Todėl su tranzistoriais galima sukurt painią schemą, kuri, jeigu skaičiaus p pirmas skaitmuo yra 3, siunčia skaičių p į trečią grupę, kurioje skaičiuoja artinį skaičiams nuo 3 iki 4 ir gauna numanomai minėtą tikslumą O jeigu skaičiaus p pirmas skaitmuo yra 4, tai siunčiasi per tą loginę schemą toks skaičius į ketvirtą grupę (į kurią įeina skaičiai nuo 4 iki 5) ir t. t. Kas ten žino, gal taip ir randamas [skaičiaus p] artinys (apie tikslumu) naudojant apie 100 tokių grupių. Ir tada užtenka tik vienos iteracijos (t. y. užtenka vienos dalybos operacijos [kuri yra iteracijoje]), kad gauti apie tikslumą.
Pastebėsime, kad jeigu artinys tai pagal (3.10) formulę