Matematika/Dvilypiai integralai: Skirtumas tarp puslapio versijų

Ištrintas turinys Pridėtas turinys
Snooker (aptarimas | indėlis)
Naujas puslapis: '''Dvilypiai integralai''' skirti pagreitinti integralų (tūrio, ploto ir kt.) skaičiavimą, kad, užuot dalinus į kelias dalis ir integruojant kiekvieną d...
(Jokio skirtumo)

11:07, 8 balandžio 2010 versija

Dvilypiai integralai skirti pagreitinti integralų (tūrio, ploto ir kt.) skaičiavimą, kad, užuot dalinus į kelias dalis ir integruojant kiekvieną dalį atskirai, būtų galimą greičiau suintegruoti.

Dvylipis integralas Dekarto koordinatėse

Dvilypio integralo skaičiavimo pavyzdžiai.

 
1.
  • Dvilypį integralą   pakeisime kartotiniu, kai sritį D riboja ašis Oy, parabolė   ir tiesė   Pirmiausia randame kreivių   ir   susikirtimo tašką A. Tuo tikslu išsprendžiame lygčių sistemą
{ 
{ 

iš kurios randame: x=1; y=1. Sritį D Gausime, kai x kis nuo 0 iki 1, o y - nuo apatinės kreivės   iki viršutinės   Todėl

 

Kad gauti D srities plotą reikia skaičiuoti šitaip:   Šį plotą galima gauti ir suskaičiavus atskirai trikampio plotą ir po parabolę     nuo 0 iki  .

 
 
 

Tą patį plotą galima gauti dvilypį integralą skaičiuojant šitaip:    

  • Apskaičiuosime srities D plotą, kurį apriboja parabolė   ir parabolė   kai x kinta nuo 0 iki 1.

 

 
2.

Tą patį atsakymą galima gauti iš pradžių apskaičiavus plotą po parabole   ir paskui atėmus iš ploto po parabole   Plotas po parabole   apskaičiuojamas taip:

 

Plotas po parabole   yra:

 

Atėmus plotą po parabole   iš ploto po parabole   gauname ieškomą plotą:  

  • Apskaičiuosime integralą   srityje D, apribota linija       Iš kairės pusės gaunasi trikampis, kurio krašinė a lygiagreti x ašiai ir lygi 1, o kita krašinėb sutampa su y ašimi ir taip pat lygi 1, o trikampio įžambinė lygi  . Iš dešinės pusės viena krašinė lygiagreti x ašiai ir lygi 1 (nes  ), o kita krašinė sutampa su y ašimi ir taip pat lygi 1, šoną riboja parabolė.
 
3.

 

 

Šios dvimatės figuros plotą taip pat galima apskaičiuoti šitaip:      

 
4.
  • Apskaičiuosime ploksčios figuros plotą D apribotą     Sritis D apribota iš kairės parabole   iš kairės - atkrapa   Išsprendę sistemą, randame parabolės ir tiesės susikirtimo taškus
 
 
 
 

  Galima šį dvilypį integralą integruot ir sukeitus funkcijas vietomis, bet reiketų tada dalinti į dvi dalis. Šio uždavinio reikalaujamą plotą galima surasti ir paprastu būdu:        

  • Rasime tūrį kūno V, apriboto paviršiais         Taip kaip šis kūnas yra cilindrinis kūnas su pagrindu D, apribotas iš viršaus paraboloidu   tai turime:

   

  • Rasime tūrį kūno V, išpjauto iš begalines prizmės (stačiakampio gretasienio, kurio plotis ir aukštis  , o ilgis begalinis  ) ribomis     ir paraboloidais (iš viršaus ir apčios atitinkamai)     Tūrį kūno V randame kaip sumą tūrių   ir   jo dalių, gulinčių atitinkamai virš ir po plokštuma XOY. Tokiu budu

     

  • Kūną riboja koordinačių plokštumos       cilindrinis paviršius   ir plokštuma   Apskaičiuokime to kūno tūrį. Integravimo sritis D yra projekcija plok6tumoje xOy. Žinome, kad kūno tūris

   

 
5.
  • Apskaičiuosime tūrį kūno, apriboto paviršiais       ir   Turime   kur D - trikampė integravimo sritis, apribota tiesėmis       Išdestydami integravimo ribas šiame integrale, gauname

     

 
6.
  • Kūną riboja tiesės   atkarpa ir parabolės   lankas. Raname funkcijų susikirtimo taškus per diskriminantą.
 
 
 
  Randame plotą apribotą šių funkcijų:

   

Šį plotą galimą buvo lengvai apskaičiuoti be dvilypio integralo:

 
 
 

Dvilypis integralas polinėje koordinačių sistemoje

Polinėje koordinačių sistemoje  

 
 

Pavyzdžiai

  • Kūną riboja plokštuma xOy, cilindrinis paviršius   ir paraboloidas   Apskaičiuokime to kūno tūrį. Kai D yra skritulio dalis, esanti I ketvirtyje, tai   Tuomet

  Kadangi ketvirčiai yra keturi,   Nepolinėje koordinačių sistemoje sprendimas būtų kur kas sudetingesnis.

 
1.
  • Figūrą riboja kreivės         Apskaičiuokime tos figuros plotą. Pirmiausia išsiaiškinkime, kokias kreives apibūdina lygtys     Išskyrę dvinario kvadratus gauname:
  <=>  
  <=>  

Tai apskritimo lygtys. Pirmojo apskritimo centras yra taškas (2; 0), o spindulys lygus 2, antrojo centras - taškas (4; 0), o spindulys lygus 4. Parašykime tų apskritimų lygtis polinėje koordinačių sistemoje:   ir   Tiesė   su ašimi Ox sudaro kampą   o tiesė   - kampą   Taigi sritį D gauname, kai   kinta nuo   iki   o   - nuo   iki   Figūros plotas   todėl    

 
  • Figūrą riboja kreivės         Apskaičiuokime tos figuros plotą. Pirmiausia išsiaiškinkime, kokias kreives apibūdina lygtys     Išskyrę dvinario kvadratus gauname:
  <=>  
  <=>  

Tai apskritimo lygtys. Pirmojo apskritimo centras yra taškas (0; 0), o spindulys lygus 2, antrojo centras - taškas (4; 0), o spindulys lygus 4. Parašykime tų apskritimų lygtis polinėje koordinačių sistemoje:  ,   ir   Tiesė   su ašimi Ox sudaro kampą   o tiesė   - kampą   Taigi sritį D gauname, kai   kinta nuo   iki   o   - nuo   iki   Figūros plotas   todėl    

 
  • Figūrą riboja kreivės       Apskaičiuokime tos figuros plotą. Pirmiausia išsiaiškinkime, kokią kreivę apibūdina lygtis   Išskyrę dvinario kvadratą gauname:
  <=>  

Tai apskritimo lygtis. Apskritimo centras yra taškas (4; 0), o spindulys lygus 4. Parašykime to apskritimo lygtį polinėje koordinačių sistemoje:  ,   Tiesė   su ašimi Ox sudaro kampą   o tiesė   - kampą   Taigi sritį D gauname, kai   kinta nuo   iki   o   - nuo   iki   Figūros plotas   todėl    

 
Dabar rasime šį plotą be integralų. Yra 2 trikampiai, kuriuos sudaro 3 tiesės:  ,  ,  . Tiese   su asimi Ox sudaro kampą 45 laipsniu arba  . Tiesė   su ašimi Ox sudaro kampą,  ,  ,  ,  ,   arba 60 laipsniu. Tiesė   su tiese   kertasi šiuose taškuose  ,  , jie gaunami išsprendus lygčių sistemą:
 
 .

Keitimo butu gauname,

 ;  ;  ;  ;  ;  ,  ;  ,   netinka, nes  , nes Ox asimi dirbama nuo 0 iki 4, taip pat netinka grafike, nes nesikerta tieses kai x=9,4641. Dabar randame koks yra y, kai kertasi šios dvi tiesės; y=x, taigi y=2,535898385, tą patį gauname ir įstačius x į lygtį  .

Dabar galime rasti ilgį tiesės   iki susikirtimo su apskritimo spinduliu, kuris yra tiesė  , taigi   Taip pat randame ilgį tiesės   iki susikirtimo su tiese  . Taigi,  

 

Toliau randame tiesės   ir tiesės   susikirtimo taškus. Keitimo budu išsprendžiame sistemą:

 ;  ;  ;  . Įstačius šią reikšmę į lygtį  , gauname  , kad tiesės kertasi taške, kai   ir  

Pagal pitagoro teorema surandame vienu metu ir tiesės   ir tiesės   ilgius (abiejų tiesių ilgiai vienodi) iki jų susikirtimo taško:  

Dabar galime rasti iškirptą tiesės   dalį kitų dviejų tiesių:   ir  . Taigi,  .
Žinodami kampą tarp tiesės   ir  , kuris yra   laipsnių arba  , pagal formulę   , gauname plotą trikampio iškirptą tiesių  ,   ir iš viršaus tiese  . Tą patį plotą gausime ir taikydami Herono formulę:

 ;       Skaičiuojant dviais būdais plotas sutampa.

Tiesė   su apskritimu   kertasi taške (x; y)=(4; 4). Jei nuleisime nuo susikirtimo vietos žemyn tiesę statmeną Ox ašiai gausime apskritimo spindulį  . Randame y=x tiesės ilgį nuo (0; 0) iki (4; 4):  . Toliau randame y=x tiesės ilgį nuo šios tiesės susikirtimo su tiese   taško iki susikirtimo su apskritimu taško. Taigi,

  Dabar pagal Herono formulę galime rasti trikampio iškirptą tiesių  ,   ir tiesės x=4, kuri turi taškus (4; 0) ir (4; 4):

 ;

      Kampas tarp tiesės   ir   tiesės yra   laipsnių (arba  ) analogiškai kaip iš 90 laipsnių atimti 60 laipsnių kampą, kurį sudaro tiesė   su Ox ašimi. Šios dalies plotą galime apskaičiuoti taip:   Iš šito ploto atėmus ką tik suskaičiuoto trikampio plotą gausime dalį ieškomo ploto:  . Taigi visos ieškomos dalies plotas yra   Visai toks kaip integruojant.


  • Figūrą riboja kreivės       Apskaičiuokime tos figuros plotą. Pirmiausia išsiaiškinkime, kokią kreivę apibūdina lygtis   Išskyrę dvinario kvadratą gauname:
  <=>  

Tai apskritimo lygtis. Apskritimo centras yra taškas (2; 0), o spindulys lygus 2. Parašykime to apskritimo lygtį polinėje koordinačių sistemoje:  ,   Tiesė   su ašimi Ox sudaro kampą   o tiesė   - kampą   Taigi sritį D gauname, kai   kinta nuo   iki   o   - nuo   iki   Figūros plotas   todėl    

 
Be kita ko,   Taip pat,   Padauginus iš 4 gauname išpjovos plotą iš apskritimo, kurio spindulys r=4, plotas padidėja   (R yra didžiojo apskritimo spindulys, o r - mažojo), kai mažojo apskritimo spindulio ilgis tik padvigubėjo; jei spindulys pailgės 3 kartus, plotas padidės   kartus, todėl išpjovos skiriasi tik didžiu.
  • Figūrą riboja kreivės       Apskaičiuokime tos figuros plotą.
  apskritimo lygtis. Apskritimo centras yra taškas (2; 0), o spindulys lygus 2. Parašykime to apskritimo lygtį polinėje koordinačių sistemoje:  ,   Tiesė   su ašimi Ox sudaro kampą   o tiesė   - kampą  

Taigi sritį D gauname, kai   kinta nuo   iki   Žinodami, kad skritulio plotas yra   suprantame, kad reikia vesti (tarkim, skriestuvu) pusė (apskritimo) ilgio, o ne  , todėl

  Ir  


 
2.
  • Apskaičiuosime tūrį kūno, apriboto paviršiais       Taip kaip šis kūnas yra cilindrinis kūnas, apribotas iš viršaus paviršiumi  , tai turime:

  kur D - kūno pagrindas - apskritimas   plkštumoje XOY. Perėję į poliarines koordinates gauname:    

Šio kūno tūrį galima rasti gerokai greičiau. Cilindro pjuvis tesiasi nuo   iki kai  , nes iš lygties  , z yra žemiausiame taške 2, kai  , o  , taigi  . Todėl iš pradžių apskaičiuosime cilindro tūrį, kai 0<z<2, kitaip tariant, kai cilindro spindulys  , o aukštis  :
 
Aukščiau esančią cilindro dalį, kurios aukštis yra  , projectuojame į plokštumą zOy ir matome, kad gaunasi 2 vienodi trikampiai (vienas iš jų nepriklauso tai daliai). Taigi tiesiog aukštesnės dalies tūrį gauname padalinę cilindrą pusiau:
 
 .
 
3.
  • Apskaičiuosime paviršiaus dalį paraboloido   išpjautą cilindro   Paviršiaus ploto formulė yra   Taip kaip   tai  

kur D - apskritimas   plokštumoje XOY. Pereidami į poliarines koordinates gauname:       kur  

  • Ritinys   (a>0) išpjauna iš rutulio   kūną. Apskaičiuokime jo tūrį V. Apskaičiuokime 1/4 ieškomo tūrio, nes kūnas simetriškas plokštumų xOz ir xOy atžvilgiu. Integravimo sritis D yra duotojo ritinio pagrindas. Kūną iš viršaus riboja paviršius

  todėl   Šį dvilypį integralą apskaičiuosime pakeisdami kartotiniu integralu polinėje koordinačių sistemoje. Tuomet   Rasime kintamųjų   ir   kitimo rėžius. Iš apskritimo lygties   turime:   Taigi sritį D gauname, kai   kinta nuo 0 iki   o   - nuo 0 iki   Todėl       kur pasinaudojom dvigubu faktorialu trigonometrijoje.

  • Rasime tūrį V kūno, gauto iš rutulio išpjovus du cilindrus   ir   Dėl išpjauto kūno   simetriškumo jį sudaro 8 lygiatūrės dalys. Rutulio formulė:  

    Kadangi kūno V tūris yra lygus rutulio ir išpjautojo kūno   tūrių skirtumui, tai  

Paviršiaus ploto apskaičiavimas

Tarkime, kad srityje D paviršių nusako lygtis z=z(x, y), funkcijos išvestinės   ir   yra tolydžios srityje D. Paviršiaus dalies, kurios projekcija plokštumoje xOy yra sritis D, plotas apskaičiuojamas pagal formulę  

Pavyzdžiai

 
1.
  • Apskaičiuosime integralą   dalyje piltuvėlio paviršiaus   Paviršius S projektuojasi į plokštumą XOY srityje D, kuri yra žiedas   Šitame žiede funkcijos   - netrūkios. Todėl

   

 
2.
  • Rasime plotą dalies kanoninio paviršiaus   i6kerpamo plokštumomis         ir gulinčios pirmame oktante. Taip kaip funkcija   ir srtitis D, esanti projekcija šios dalies į plokšumą XOY, tenkina tolydumo sąlyga, apskaičiuojame paviršių pagal formulę. Be to     t. y.

  Sritį D randame kaip trikampių skirtumą:  

  • Paraboliniai cilindrai   bei plokštuma   išpjauna iš plokštumos   kreivinį trikampį. Apskaičiuokime jo plotą.

Plokštumos lygtį parašykime taip:   Kreivinį trikampį projektuokime į plokštumą xOy. Randame:   Tuomet  

  • Raskime plotą tos ritinio   paviršiaus ploto dalies, kurią išpjauna ritinys  

Iš paviršiaus lygties   išplaukia, kad   Šią paviršiaus dalį projektuojame į plokštumą yOz. Vadinasi:       Tuomet   čia integravimo sritis D yra ketvirtis skritulio, apriboto apskritimo   Taigi  

 
3.
  • Apskaičiuosime plotą tos dalies plokštumos   kuri yra pirmame oktante.

Taip kaip funkcija   ir sritis D, esanti projekcija šios dalies paviršiaus į plokštumą Oxy, tenkina suformuluotas auksčiau salygas, tai ieškomą plotą galima apskaičiuoti pagal formule. Turime       Sritis D yra trikampis, apribotas ašimis Ox, Oy ir tiese 6x+3y=12, gaunamos iš lygties duotos plokštumos kai z=0. Išdėstę integravimo ribas dvilypiam integrale, gauname  

 

Dvilypio integralo taikymas mechanikoje

Plokščios figūros masė

Dvilypiu integralu masė apskaičiuojama pagal formulę:

 

Pavyzdžiai

  • Skritulinės plokštelės spindulys R, o jos plokštuminis tankis tiesiog proporcingas atstumo nuo taško iki plokštelės centro kvadratui. Plokštelės kontūro taškuose tankis lygus a. Apskaičiuokime tos plokštelės masę. Pagal sąlyga, tankis taške (x; y) lygus atstumo nuo to taško iki taško (0; 0) kvadratui:   be to, kai taškas (x; y) priklauso apskritimui   tai     Iš čia proporcingumo koeficientas   Vadinasi,   Tuomet  

Šį integralą apskaičiuosime pakeisdami jį kartotiniu integralu, užrašytu polinėje koordinačių sistemoje. Taigi  

 
kvadratinė plokštelė
  • Rasime kvadratinės plokštelės masę su kraštine 2a, jeigu tankis   kiekviename taške   proporcionali atstumo kvadratui nuo taško M iki įžambinių susikirtimo (iki centro), ir proporcingumo koeficientas lygus k. Parinksime koordinačių sistemą kaip parodyta paveiksliuke. Po šito galima rasti funkciją   iš užduoties salygos. Tegu M(x; y) - bet kuris laisvai pasirenkamas taškas kvadratinės plokštelės. Tada atstumo kvadratas nuo taško M iki taško suskirtimo įstrižainių lygus   Todėl, tankis taške M:

  Pagal formulę turime   Žinant, kad pointegralinė funkcija lyginė atžvilgiu x ir y, o integravimo sritis simteriška koordinačių ašių atžvilgiu, galima apsiriboti apskaičiavimu integralo toje dalyje srities D, kuri yra I ketvirtyje, t. y.    

 
1.

Plokščios figūros statiniai momentai ir masės centro koordinatės

Masės centro koordinatės randamos pagal formules:

 

Pavyzdžiai

  • Homogeninę plokštelę   riboja kreivės   ir   Apskaičiuokime tos plokštelės masės centro koordinates.

Kai   tai formulės supaprastėja:   Apskaičiuojame:       Vadinasi  

  • Homogeninę plokštelę   riboja tiesės   ir   ir iš dešinės tiesė   lygiagreti Oy ašiai. Apskaičiuokime tos plokštelės masės centro koordinates.

Kai   tai formulės supaprastėja:   Apskaičiuojame:       Vadinasi  

 
plokštelė.
  • Rasime centro koordinates homogeninės plokštelės, apribotos dvejomis parabolėmis   ir   Iš pradžių apskaičiuosime plokštelės masę

    Toliau apskaičiuosime statinius momemntus jos kordinačių ašių atžvilgiu:        

Plokščios figuros inercijos momentai

Inercijos momentai ašių Ox, Oy ir koordinačių pradžios atžvilgiu lygūs  

Pavyzdžiai

 
2.
  • Homogeninę figūrą   riboja kardioidė   Apskaičiuokime tos figūros inercijos momentus ašių Ox, Oy ir poliaus O atžvilgiu. Kai   tai formulės virsta tokiomis:

  Šiuos integralus apskaičiuosime išreikšdami juos polinėmis koordinatėmis. Pirmiausia imame   ir   o dydį   apskaičiuosime kaip jų skirtumą   Turime:   Pakeisdami šiuos dvilypius integralus kartotiniais, apsiribosime 1/2 srities D dalimi. Taigi     Pakeitę kintamąjį pagal formulę     gauname       Tuomet  

  • Rasime inercijos momentą skritulio su spinduliu R su vienodu tankiu   koordinačių pradžios atžvilgiu.

  Pereiname į poliarines koordinates. Lygtis apskritimo (skritulio kraštai) poliarinėse koordinatėse atrodo taip   Todėl