Naujas puslapis: '''Dvilypiai integralai''' skirti pagreitinti integralų (tūrio, ploto ir kt.) skaičiavimą, kad, užuot dalinus į kelias dalis ir integruojant kiekvieną d...
Dvilypiai integralai skirti pagreitinti integralų (tūrio, ploto ir kt.) skaičiavimą, kad, užuot dalinus į kelias dalis ir integruojant kiekvieną dalį atskirai, būtų galimą greičiau suintegruoti.
Dvilypį integralą pakeisime kartotiniu, kai sritį D riboja ašis Oy, parabolė ir tiesė Pirmiausia randame kreivių ir susikirtimo tašką A. Tuo tikslu išsprendžiame lygčių sistemą
{
{
iš kurios randame: x=1; y=1. Sritį D Gausime, kai x kis nuo 0 iki 1, o y - nuo apatinės kreivės iki viršutinės Todėl
Kad gauti D srities plotą reikia skaičiuoti šitaip:
Šį plotą galima gauti ir suskaičiavus atskirai trikampio plotą ir po parabolę nuo 0 iki .
Tą patį plotą galima gauti dvilypį integralą skaičiuojant šitaip:
Apskaičiuosime srities D plotą, kurį apriboja parabolė ir parabolė kai x kinta nuo 0 iki 1.
Tą patį atsakymą galima gauti iš pradžių apskaičiavus plotą po parabole ir paskui atėmus iš ploto po parabole Plotas po parabole apskaičiuojamas taip:
Plotas po parabole yra:
Atėmus plotą po parabole iš ploto po parabole gauname ieškomą plotą:
Apskaičiuosime integralą srityje D, apribota linija Iš kairės pusės gaunasi trikampis, kurio krašinė a lygiagreti x ašiai ir lygi 1, o kita krašinėb sutampa su y ašimi ir taip pat lygi 1, o trikampio įžambinė lygi . Iš dešinės pusės viena krašinė lygiagreti x ašiai ir lygi 1 (nes ), o kita krašinė sutampa su y ašimi ir taip pat lygi 1, šoną riboja parabolė.
Šios dvimatės figuros plotą taip pat galima apskaičiuoti šitaip:
Apskaičiuosime ploksčios figuros plotą D apribotą Sritis D apribota iš kairės parabole iš kairės - atkrapa Išsprendę sistemą, randame parabolės ir tiesės susikirtimo taškus
Galima šį dvilypį integralą integruot ir sukeitus funkcijas vietomis, bet reiketų tada dalinti į dvi dalis.
Šio uždavinio reikalaujamą plotą galima surasti ir paprastu būdu:
Rasime tūrį kūno V, apriboto paviršiais Taip kaip šis kūnas yra cilindrinis kūnas su pagrindu D, apribotas iš viršaus paraboloidu tai turime:
Rasime tūrį kūno V, išpjauto iš begalines prizmės (stačiakampio gretasienio, kurio plotis ir aukštis , o ilgis begalinis ) ribomis ir paraboloidais (iš viršaus ir apčios atitinkamai) Tūrį kūno V randame kaip sumą tūrių ir jo dalių, gulinčių atitinkamai virš ir po plokštuma XOY. Tokiu budu
Kūną riboja koordinačių plokštumos cilindrinis paviršius ir plokštuma Apskaičiuokime to kūno tūrį. Integravimo sritis D yra projekcija plok6tumoje xOy. Žinome, kad kūno tūris
Apskaičiuosime tūrį kūno, apriboto paviršiais ir Turime kur D - trikampė integravimo sritis, apribota tiesėmis Išdestydami integravimo ribas šiame integrale, gauname
Kūną riboja tiesės atkarpa ir parabolės lankas. Raname funkcijų susikirtimo taškus per diskriminantą.
Randame plotą apribotą šių funkcijų:
Šį plotą galimą buvo lengvai apskaičiuoti be dvilypio integralo:
Dvilypis integralas polinėje koordinačių sistemoje
Polinėje koordinačių sistemoje
Pavyzdžiai
Kūną riboja plokštuma xOy, cilindrinis paviršius ir paraboloidas Apskaičiuokime to kūno tūrį. Kai D yra skritulio dalis, esanti I ketvirtyje, tai Tuomet
Kadangi ketvirčiai yra keturi, Nepolinėje koordinačių sistemoje sprendimas būtų kur kas sudetingesnis.
Figūrą riboja kreivės Apskaičiuokime tos figuros plotą. Pirmiausia išsiaiškinkime, kokias kreives apibūdina lygtys Išskyrę dvinario kvadratus gauname:
<=>
<=>
Tai apskritimo lygtys. Pirmojo apskritimo centras yra taškas (2; 0), o spindulys lygus 2, antrojo centras - taškas (4; 0), o spindulys lygus 4. Parašykime tų apskritimų lygtis polinėje koordinačių sistemoje: ir Tiesė su ašimi Ox sudaro kampą o tiesė - kampą
Taigi sritį D gauname, kai kinta nuo iki o - nuo iki Figūros plotas todėl
Figūrą riboja kreivės Apskaičiuokime tos figuros plotą. Pirmiausia išsiaiškinkime, kokias kreives apibūdina lygtys Išskyrę dvinario kvadratus gauname:
<=>
<=>
Tai apskritimo lygtys. Pirmojo apskritimo centras yra taškas (0; 0), o spindulys lygus 2, antrojo centras - taškas (4; 0), o spindulys lygus 4. Parašykime tų apskritimų lygtis polinėje koordinačių sistemoje: , ir Tiesė su ašimi Ox sudaro kampą o tiesė - kampą
Taigi sritį D gauname, kai kinta nuo iki o - nuo iki Figūros plotas todėl
Figūrą riboja kreivės Apskaičiuokime tos figuros plotą. Pirmiausia išsiaiškinkime, kokią kreivę apibūdina lygtis Išskyrę dvinario kvadratą gauname:
<=>
Tai apskritimo lygtis. Apskritimo centras yra taškas (4; 0), o spindulys lygus 4. Parašykime to apskritimo lygtį polinėje koordinačių sistemoje: , Tiesė su ašimi Ox sudaro kampą o tiesė - kampą
Taigi sritį D gauname, kai kinta nuo iki o - nuo iki Figūros plotas todėl
Dabar rasime šį plotą be integralų. Yra 2 trikampiai, kuriuos sudaro 3 tiesės: , , . Tiese su asimi Ox sudaro kampą 45 laipsniu arba . Tiesė su ašimi Ox sudaro kampą, , , , , arba 60 laipsniu. Tiesė su tiese kertasi šiuose taškuose , , jie gaunami išsprendus lygčių sistemą:
.
Keitimo butu gauname,
; ; ; ; ; , ; , netinka, nes , nes Ox asimi dirbama nuo 0 iki 4, taip pat netinka grafike, nes nesikerta tieses kai x=9,4641. Dabar randame koks yra y, kai kertasi šios dvi tiesės; y=x, taigi y=2,535898385, tą patį gauname ir įstačius x į lygtį .
Dabar galime rasti ilgį tiesės iki susikirtimo su apskritimo spinduliu, kuris yra tiesė , taigi
Taip pat randame ilgį tiesės iki susikirtimo su tiese . Taigi,
Toliau randame tiesės ir tiesės susikirtimo taškus. Keitimo budu išsprendžiame sistemą:
; ; ; . Įstačius šią reikšmę į lygtį , gauname , kad tiesės kertasi taške, kai ir
Pagal pitagoro teorema surandame vienu metu ir tiesės ir tiesės ilgius (abiejų tiesių ilgiai vienodi) iki jų susikirtimo taško:
Dabar galime rasti iškirptą tiesės dalį kitų dviejų tiesių: ir . Taigi, .
Žinodami kampą tarp tiesės ir , kuris yra laipsnių arba , pagal formulę , gauname plotą trikampio iškirptą tiesių , ir iš viršaus tiese . Tą patį plotą gausime ir taikydami Herono formulę:
;
Skaičiuojant dviais būdais plotas sutampa.
Tiesė su apskritimu kertasi taške (x; y)=(4; 4). Jei nuleisime nuo susikirtimo vietos žemyn tiesę statmeną Ox ašiai gausime apskritimo spindulį . Randame y=x tiesės ilgį nuo (0; 0) iki (4; 4): . Toliau randame y=x tiesės ilgį nuo šios tiesės susikirtimo su tiese taško iki susikirtimo su apskritimu taško. Taigi,
Dabar pagal Herono formulę galime rasti trikampio iškirptą tiesių , ir tiesės x=4, kuri turi taškus (4; 0) ir (4; 4):
;
Kampas tarp tiesės ir tiesės yra laipsnių (arba ) analogiškai kaip iš 90 laipsnių atimti 60 laipsnių kampą, kurį sudaro tiesė su Ox ašimi. Šios dalies plotą galime apskaičiuoti taip: Iš šito ploto atėmus ką tik suskaičiuoto trikampio plotą gausime dalį ieškomo ploto: .
Taigi visos ieškomos dalies plotas yra Visai toks kaip integruojant.
Figūrą riboja kreivės Apskaičiuokime tos figuros plotą. Pirmiausia išsiaiškinkime, kokią kreivę apibūdina lygtis Išskyrę dvinario kvadratą gauname:
<=>
Tai apskritimo lygtis. Apskritimo centras yra taškas (2; 0), o spindulys lygus 2. Parašykime to apskritimo lygtį polinėje koordinačių sistemoje: , Tiesė su ašimi Ox sudaro kampą o tiesė - kampą
Taigi sritį D gauname, kai kinta nuo iki o - nuo iki Figūros plotas todėl
Be kita ko, Taip pat, Padauginus iš 4 gauname išpjovos plotą iš apskritimo, kurio spindulys r=4, plotas padidėja (R yra didžiojo apskritimo spindulys, o r - mažojo), kai mažojo apskritimo spindulio ilgis tik padvigubėjo; jei spindulys pailgės 3 kartus, plotas padidės kartus, todėl išpjovos skiriasi tik didžiu.
Figūrą riboja kreivės Apskaičiuokime tos figuros plotą.
apskritimo lygtis. Apskritimo centras yra taškas (2; 0), o spindulys lygus 2. Parašykime to apskritimo lygtį polinėje koordinačių sistemoje: , Tiesė su ašimi Ox sudaro kampą o tiesė - kampą
Taigi sritį D gauname, kai kinta nuo iki Žinodami, kad skritulio plotas yra suprantame, kad reikia vesti (tarkim, skriestuvu) pusė (apskritimo) ilgio, o ne , todėl
Ir
Apskaičiuosime tūrį kūno, apriboto paviršiais Taip kaip šis kūnas yra cilindrinis kūnas, apribotas iš viršaus paviršiumi , tai turime:
kur D - kūno pagrindas - apskritimas plkštumoje XOY. Perėję į poliarines koordinates gauname:
Šio kūno tūrį galima rasti gerokai greičiau. Cilindro pjuvis tesiasi nuo iki kai , nes iš lygties , z yra žemiausiame taške 2, kai , o , taigi . Todėl iš pradžių apskaičiuosime cilindro tūrį, kai 0<z<2, kitaip tariant, kai cilindro spindulys , o aukštis :
Aukščiau esančią cilindro dalį, kurios aukštis yra , projectuojame į plokštumą zOy ir matome, kad gaunasi 2 vienodi trikampiai (vienas iš jų nepriklauso tai daliai). Taigi tiesiog aukštesnės dalies tūrį gauname padalinę cilindrą pusiau:
.
Apskaičiuosime paviršiaus dalį paraboloido išpjautą cilindro Paviršiaus ploto formulė yra Taip kaip tai
kur D - apskritimas plokštumoje XOY. Pereidami į poliarines koordinates gauname:
kur
Ritinys (a>0) išpjauna iš rutulio kūną. Apskaičiuokime jo tūrį V. Apskaičiuokime 1/4 ieškomo tūrio, nes kūnas simetriškas plokštumų xOz ir xOy atžvilgiu. Integravimo sritis D yra duotojo ritinio pagrindas. Kūną iš viršaus riboja paviršius
todėl
Šį dvilypį integralą apskaičiuosime pakeisdami kartotiniu integralu polinėje koordinačių sistemoje. Tuomet Rasime kintamųjų ir kitimo rėžius. Iš apskritimo lygties turime: Taigi sritį D gauname, kai kinta nuo 0 iki o - nuo 0 iki Todėl
kur
pasinaudojom dvigubu faktorialu trigonometrijoje.
Rasime tūrį V kūno, gauto iš rutulio išpjovus du cilindrus ir Dėl išpjauto kūno simetriškumo jį sudaro 8 lygiatūrės dalys. Rutulio formulė:
Kadangi kūno V tūris yra lygus rutulio ir išpjautojo kūno tūrių skirtumui, tai
Paviršiaus ploto apskaičiavimas
Tarkime, kad srityje D paviršių nusako lygtis z=z(x, y), funkcijos išvestinės ir yra tolydžios srityje D. Paviršiaus dalies, kurios projekcija plokštumoje xOy yra sritis D, plotas apskaičiuojamas pagal formulę
Pavyzdžiai
Apskaičiuosime integralą dalyje piltuvėlio paviršiaus Paviršius S projektuojasi į plokštumą XOY srityje D, kuri yra žiedas Šitame žiede funkcijos - netrūkios. Todėl
Rasime plotą dalies kanoninio paviršiaus i6kerpamo plokštumomis ir gulinčios pirmame oktante. Taip kaip funkcija ir srtitis D, esanti projekcija šios dalies į plokšumą XOY, tenkina tolydumo sąlyga, apskaičiuojame paviršių pagal formulę. Be to t. y.
Sritį D randame kaip trikampių skirtumą:
Paraboliniai cilindrai bei plokštuma išpjauna iš plokštumos kreivinį trikampį. Apskaičiuokime jo plotą.
Plokštumos lygtį parašykime taip: Kreivinį trikampį projektuokime į plokštumą xOy. Randame: Tuomet
Raskime plotą tos ritinio paviršiaus ploto dalies, kurią išpjauna ritinys
Iš paviršiaus lygties išplaukia, kad Šią paviršiaus dalį projektuojame į plokštumą yOz.
Vadinasi:
Tuomet
čia integravimo sritis D yra ketvirtis skritulio, apriboto apskritimo Taigi
Apskaičiuosime plotą tos dalies plokštumos kuri yra pirmame oktante.
Taip kaip funkcija ir sritis D, esanti projekcija šios dalies paviršiaus į plokštumą Oxy, tenkina suformuluotas auksčiau salygas, tai ieškomą plotą galima apskaičiuoti pagal formule. Turime
Sritis D yra trikampis, apribotas ašimis Ox, Oy ir tiese 6x+3y=12, gaunamos iš lygties duotos plokštumos kai z=0. Išdėstę integravimo ribas dvilypiam integrale, gauname
Dvilypio integralo taikymas mechanikoje
Plokščios figūros masė
Dvilypiu integralu masė apskaičiuojama pagal formulę:
Pavyzdžiai
Skritulinės plokštelės spindulys R, o jos plokštuminis tankis tiesiog proporcingas atstumo nuo taško iki plokštelės centro kvadratui. Plokštelės kontūro taškuose tankis lygus a. Apskaičiuokime tos plokštelės masę. Pagal sąlyga, tankis taške (x; y) lygus atstumo nuo to taško iki taško (0; 0) kvadratui: be to, kai taškas (x; y) priklauso apskritimui tai Iš čia proporcingumo koeficientas Vadinasi, Tuomet
Šį integralą apskaičiuosime pakeisdami jį kartotiniu integralu, užrašytu polinėje koordinačių sistemoje. Taigi
Rasime kvadratinės plokštelės masę su kraštine 2a, jeigu tankis kiekviename taške proporcionali atstumo kvadratui nuo taško M iki įžambinių susikirtimo (iki centro), ir proporcingumo koeficientas lygus k. Parinksime koordinačių sistemą kaip parodyta paveiksliuke. Po šito galima rasti funkciją iš užduoties salygos. Tegu M(x; y) - bet kuris laisvai pasirenkamas taškas kvadratinės plokštelės. Tada atstumo kvadratas nuo taško M iki taško suskirtimo įstrižainių lygus Todėl, tankis taške M:
Pagal formulę turime
Žinant, kad pointegralinė funkcija lyginė atžvilgiu x ir y, o integravimo sritis simteriška koordinačių ašių atžvilgiu, galima apsiriboti apskaičiavimu integralo toje dalyje srities D, kuri yra I ketvirtyje, t. y.
Plokščios figūros statiniai momentai ir masės centro koordinatės
Masės centro koordinatės randamos pagal formules:
Pavyzdžiai
Homogeninę plokštelę riboja kreivės ir Apskaičiuokime tos plokštelės masės centro koordinates.
Kai tai formulės supaprastėja:
Apskaičiuojame:
Vadinasi
Homogeninę plokštelę riboja tiesės ir ir iš dešinės tiesė lygiagreti Oy ašiai. Apskaičiuokime tos plokštelės masės centro koordinates.
Kai tai formulės supaprastėja:
Apskaičiuojame:
Vadinasi
Rasime centro koordinates homogeninės plokštelės, apribotos dvejomis parabolėmis ir Iš pradžių apskaičiuosime plokštelės masę
Toliau apskaičiuosime statinius momemntus jos kordinačių ašių atžvilgiu:
Homogeninę figūrą riboja kardioidė Apskaičiuokime tos figūros inercijos momentus ašių Ox, Oy ir poliaus O atžvilgiu. Kai tai formulės virsta tokiomis:
Šiuos integralus apskaičiuosime išreikšdami juos polinėmis koordinatėmis. Pirmiausia imame ir o dydį apskaičiuosime kaip jų skirtumą Turime:
Pakeisdami šiuos dvilypius integralus kartotiniais, apsiribosime 1/2 srities D dalimi. Taigi
Pakeitę kintamąjį pagal formulę gauname
Tuomet
Rasime inercijos momentą skritulio su spinduliu R su vienodu tankiu koordinačių pradžios atžvilgiu.
Pereiname į poliarines koordinates. Lygtis apskritimo (skritulio kraštai) poliarinėse koordinatėse atrodo taip Todėl