Matematika/Trilypis integralas: Skirtumas tarp puslapio versijų

<math>=\int_0^2 dx\int_0^{2-x}(2-x-y)dy=\int_0^2 (2y-xy-{y^2\over 2})|_0^{2-x}dx=\int_0^2(4-2x-2x+x^2-{1\over 2}(4-4x+x^2))dx=</math>

<math>=\int_0^2(2-2x+{x^2\over 2})dx=(2x-x^2+{x^3\over 6})|_0^2=4-4+{8\over 6}={8\over 6}.</math>

Šį atsakymą galima buvo gauti naudojantis mišriąja [[vektorius|vektorių]] sandauga.

:<math>V=(a\times b)\cdot c=\begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ b_z & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{vmatrix}=8.</math>

:<math>V=(a\times b)\cdot c=\begin{vmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{vmatrix}=4.</math>

 

*Apskaičiuosime tetraedro tūrį ''V'', apriboto plokštumomis x+y+z=2, z=1, x=0, y=0. tetraedro trys kraštinės a=b=c=1 ir lygiagrečios atitinkamai ''x'', ''y'' ir ''z'' ašims, o kitos trys kraštinės <math>d=e=f=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}.</math>

<math>V=\iiint_V dxdydz=\iint_D dxdy\int_1^{2-x-y}dz=\int_0^1 dx\int_0^{1-x}dy\int_1^{2-x-y}dz=</math>

:<math>V={1\over 6}|(a\times b)\cdot c|={1\over 6}\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}={1\over 6}.</math>

 

*Pirmajame oktante esantį kūną riboja paviršiai <math>z=4-y^2,</math> <math>x+y=2,</math> <math>2x+y=2,</math> <math>y=0,</math> <math>z=0.</math> Apskaičiuokime to kūno tūrį. Kūno tūrį apskaičiuosime pagal formulę

<math>V=\iiint_V dxdydz=\iint_Ddxdy\int_0^{4-y^2}.</math>

<math>=\int_0^2 (4-y^2)x|_{2-y\over 2}^{2-y} dy=\int_0^2(4-2y-y^2+{y^3\over 2})dy=(4y-y^2-{y^3\over 3}+{y^4\over 8})|_0^2={10\over 3}.</math>

 

*Apskaičiuosime tūrį kūno apriboto šiais paviršiais: <math>y=\sqrt{x},\;y=2\sqrt{x},</math> <math>z=0</math> ir <math>x+z=6.</math> Iš lygties <math>x+z=6,</math> kai ''z'' lygi nuliui <math>x=6.</math> Kai <math>x=6</math> parabolės įgija reikšmes <math>y=\sqrt{6}</math> ir <math>y=2\sqrt{6}.</math> Todėl tūris lygus

<math>V=\int_0^6 dx\int_{\sqrt{x}}^{2\sqrt{x}}dy\int_0^{6-x}dz=\int_0^6 dx\int_{\sqrt{x}}^{2\sqrt{x}}(6-x)dy=</math>

 

'''Pavyzdžiai'''

*Kūną ''V'' riboja paviršiai <math>x^2+y^2=x,</math> <math>x^2+y^2=2x,</math> <math>z=4-\sqrt{x^2+y^2},</math> z=0. Apskaičiuokime to kūno tūrį.

Kūnas ''V'' iš šonų apribotas dviejų cilindrų, kurių sudaromosios lygiagrečios ašiai ''Oz'', o vedamosios - apskritimai <math>x^2+y^2=x</math> ir <math>x^2+y^2=2x.</math> Iš apačios kūną riboja plokštuma z=0, iš viršaus - [[kūgis]] <math>z=4-\sqrt{x^2+y^2},</math> kurio viršūnė yra taške (0; 0; 4) o sudaromosios nukreiptos žemyn. Kadangi kūnas yra simetriškas plokštumos ''xOy'' atžvilgiu, tai apskaičiuosime <math>{1\over 2}</math> to kūno tūrio. Integravimo sritis ''D'', t. y. kūno prjokecija plokštumoje ''xOy''.

Kur du šauktukai [[integravimo metodai|dvigubas faktorialas]].

 

*Kūną ''V'' riboja viršutinė sferos <math>z=\sqrt{6-x^2-y^2}</math> dalis ir paraboloidas <math>z=x^2+y^2.</math> Apskaičiuokime kūno tūrį.

Kadangi kūnas yra simteriškas plokštumų ''xOz'' ir ''yOz'' atžvilgiu, tai apskaičiuosime <math>{1\over 4}</math> jo tūrio. Norėdami rasti sritį ''D'', turime suprojektuoti į plokštumą ''xOy'' sferos paraboloido susikirtimo kreivę, kurios lygtį gausime išsprendę jų lygčių sistemą. Į lygtį <math>z=\sqrt{6-x^2-y^2}</math> vietoje ''z'' įrašome reiškinį <math>x^2+y^2.</math> Gauname lygtį

 

 

*Apskaičiuosime tūrį kūno ''V'', apriboto paviršiais <math>x^2+y^2=z,</math> z=1, cilindrinėse koordinatėse. Tai yra paraboloidas iš viršaus apribotas plokštuma z=1. Pažymėsime per ''T'' erdvės sritį <math>\rho\phi z,</math> apribota paviršiais <math>\rho^2=z,</math> <math>z=1,</math> <math>\phi=0,</math> <math>\phi=2\pi.</math> Todėl

<math>V=\iiint_V dxdydz=\iiint_T \rho d\rho d\phi dz=\int_0^{2\pi} d\phi\int_0^1 \rho d\rho \int_{\rho^2}^1 dz=</math>

*Apskaičiuokime kūno, kurį riboja paraboloidas <math>z=x^2+y^2</math> ir plokštuma <math>z=4</math> (žr. auksčiau pateiktą pavyzdį apie paraboloido masės centro skaičiavimą), inercijos momentą ašies, einančios per jo masės centrą statmenai to paraboloido sukimosi ašiai, atžvilgiu (<math>\gamma=1</math>).

:Koordinačių ašis parinkime taip, kad jų pradžios taškas sutaptų su paraboloido masės centru, o ašis ''Ox'' būtų statmena paraboloido sukimosi ašiai. Tuomet turėsime rasti <math>I_{xx}</math> (arba <math>I_{yy}</math>).

<math>J_{xx}=\int_0^{2\pi}d\phi\int_0^2 \rho d\rho\int_{\rho^2-8/3}^{4/3}(\rho^2\sin^2\phi+z^2)dz=\int_0^{2\pi}d\phi\int_0^2\rho(z\rho^2\sin^2\phi+{z^3\over 3})|_{\rho^2-{8\over 3}}^{4\over 3}d\rho=</math>

<math>=\int_0^{2\pi}d\phi\int_0^2[(4\rho^3-\rho^5)\sin^2\phi+{64\over 9}\rho-{\rho^7\over 3}+{8\rho^5\over 3}-{64\over 9}\rho^3]d\rho=</math>