Matematika/Makloreno eilutės: Skirtumas tarp puslapio versijų

6 276 pridėti baitai ,  prieš 10 metų
nėra keitimo aprašymo
 
Skaičiai ''B''<sub>''k''</sub> esantis ''sudeties'' išpletime tan(''x'') ir tanh(''x'') yra [[Bernulio skaičiai]]. ''E''<sub>''k''</sub> išpletime sec(''x'') yra [[Eulerio skaičiai]].
==Įrodymas per Pitagoro teoremą==
Bus per Pitagoro teoremą įrodyta, kad sinuso, kosinuso eilutės ir skaičiuotuvo reikšmės yra teisingos.
 
Iš pradžiu, paliginsime kalkuliatoriaus reikšme, tam tikram kampui ''k'' su <math>\sin k</math> Tailoro eilutės rezultatu. Tarkim, kampas k=60 laipsnių arba <math>k=1,047197551</math> radianų. Tuomet kalkuliatoriaus reikšmė:
:<math>\sin k=\sin 1.047197551={\sqrt{3}\over 2}=0.866025403.</math>
:<math>\sin k = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} k^{2n+1} = k - \frac{k^3}{3!} + \frac{k^5}{5!} - \frac{k^7}{7!}+\frac{k^9}{9!}-...=</math>
:<math>=1.047197551-\frac{1.047197551^3}{3!} + \frac{1.047197551^5}{5!} -\frac{1.047197551^7}{7!}+\frac{1.047197551^9}{9!}-\frac{1.047197551^{11}}{11!}=</math>
:<math>=0.866025403.</math>
Net po salyginai trumpos eilutės atsakymo tikslumas gavosi =>9 skaičiai po kablelio.
:Kai kampas k=1 radianas, tada <math>\sin k=\sin 1=0,841470984</math>.
:<math>\sin k=\sin 1\approx 1-\frac{1^3}{3!} + \frac{1^5}{5!} -\frac{1^7}{7!}=1-{1\over 6}+{1\over 120}-{1\over 5040}=0.841468254.</math>
:<math>\sin k=\sin 1=1-\frac{1^3}{3!} + \frac{1^5}{5!} -\frac{1^7}{7!}+\frac{1^9}{9!}=1-{1\over 6}+{1\over 120}-{1\over 5040}+\frac{1}{362880}=0.841471009.</math>
:<math>\sin 1=1-\frac{1^3}{3!} + \frac{1^5}{5!} -\frac{1^7}{7!}+\frac{1^9}{9!}-\frac{1^{11}}{11!}=1-{1\over 6}+{1\over 120}-{1\over 5040}+\frac{1}{362880}-{1\over 39916800}=0.841470984.</math>
:<math>\cos k = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} k^{2n} = 1 - \frac{k^2}{2!} + \frac{k^4}{4!} - \cdots\text{ for all } k\!</math>
 
:Tariam, kad <math>\sin k= b</math>, o <math>\cos k=a</math>. Kampas ''k'' šioje užduotyje yra lygus 1 radianui (k=1). Tiesės ''a'' reikšmės gali būti nuo 0 iki 1. Tiesės ''b'' reikšmės gali būti nuo 0 iki 1.
Dabar toliau labai svarbu apčiupti bet kuriuos taškus ant apskritimo, kurio spindulys r=1, bet, kad tie taškai sujungtų daug trumpų tiesių taip, kad tos sujungtos tiesės labai primintų apskritimo lanko formą ir kad kiekviena tiesė nebūtų ilgesnė 3 kartus už betkurią kitą tiesę, kuri jungia bet kuriuos 2 taškus.
Taigi, pradedame rinkti taškus ant ''Ox'' ašies: <math>x_1=1</math>; <math>x_2=0.9</math>; <math>x_3=0.8</math>; <math>x_4=0.7</math>; <math>x_5=0.6</math>; <math>x_6=0.5</math>; <math>x_7=0.4</math>; <math>x_8=0.3</math>; koordinatės <math>x_9</math> gali ir neprireikti, nes <math>\cos 1</math> negali būti labai maža reikšmė. Kiekvieno taško koordinatės ant apskritimo lanko bus užrašytos šitaip: <math>(x_1; y_1)</math>, <math>(x_2; y_2)</math>, <math>(x_3; y_3),</math> <math>(x_4; y_4),</math> <math>(x_5; y_5),</math> <math>(x_6; y_6),</math> <math>(x_7; y_7).</math> Dalį koordinačių jau galima užrašyti dabar: <math>(1; y_1),</math> <math>(0,9; y_2),</math> <math>(0,8; y_3),</math> <math>(0,7; y_4),</math> <math>(0,6; y_5),</math> <math>(0,5; y_6)</math>, <math>(0,4; y_7)</math>. Likusią dalį koordinačių gausime pasinaudoję Pitagoro teorema:
:<math>y_1=\sqrt{r^2-x_1^2}=\sqrt{1^2-1^2}=0;</math>
:<math>y_2=\sqrt{r^2-x_2^2}=\sqrt{1^2-0.9^2}=\sqrt{1-0.81}=\sqrt{0.19}=0.435889894;</math>
:<math>y_3=\sqrt{r^2-x_3^2}=\sqrt{1^2-0.8^2}=\sqrt{0.36}=0.6;</math>
:<math>y_4=\sqrt{r^2-x_4^2}=\sqrt{1^2-0.7^2}=\sqrt{0.51}=0.714142842;</math>
:<math>y_5=\sqrt{r^2-x_5^2}=\sqrt{1^2-0.6^2}=\sqrt{0.64}=0.8;</math>
:<math>y_6=\sqrt{r^2-x_6^2}=\sqrt{1^2-0.5^2}=\sqrt{0.75}=0.866025403;</math>
:<math>y_7=\sqrt{r^2-x_7^2}=\sqrt{1^2-0.4^2}=\sqrt{0.84}=0.916515139.</math>
 
Dabar žinome visų reikiamų taškų, esančių ant apskritimo lanko, koordinates:
<math>(1; 0),</math> <math>(0,9; 0,435889894),</math> <math>(0,8; 0.6),</math> <math>(0,7; 0.714142842),</math> <math>(0,6; 0.8),</math> <math>(0,5; 0.866025403)</math>, <math>(0,4; 0.916515139)</math>.
 
Jeigu kalkuliatorius suranda teisingai <math>\cos k</math> ir <math>\sin k</math> reikšmes, tai sudėję visus tiesių ilgius (šių tiesių ilgiai bus surasti), kuriuos sudaro taškai turėtume gauti kampą ''k'' .
 
Yra žinoma, kad atstumas ''h'' nuo vieno taško <math>(x_1; y_1)</math> iki kito taško <math>(x_2; y_2)</math> yra randamas pagal formulę:
:<math>h=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}.</math>
:Todėl:
:<math>k_1=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}=\sqrt{(1-0.9)^2+(0-\sqrt{0.19})^2}=\sqrt{0.01+0.19}=\sqrt{0.2}=0.447213595;</math>
:<math>k_2=\sqrt{(x_2-x_3)^2+(y_2-y_3)^2}=\sqrt{(0.9-0.8)^2+(\sqrt{0.19}-0.6)^2}=\sqrt{0.1^2+(-0.164110105)^2}=</math>
<math>=\sqrt{0.01+0.026932126}=\sqrt{0.036932126}=0.192177331;</math>
:<math>k_3=\sqrt{(x_3-x_4)^2+(y_3-y_4)^2}=\sqrt{(0.8-0.7)^2+(0.6-\sqrt{0.51})^2}=\sqrt{0.1^2+(-0.114142842)^2}=</math>
<math>=\sqrt{0.023028588}=0.151751733;</math>
:<math>k_4=\sqrt{(x_4-x_5)^2+(y_4-y_5)^2}=\sqrt{(0.7-0.6)^2+(\sqrt{0.51}-0.8)^2}=\sqrt{0.1^2+(-0.085857157)^2}=</math>
<math>=\sqrt{0.017371451}=0.131800802;</math>
:<math>k_5=\sqrt{(x_5-x_6)^2+(y_5-y_6)^2}=\sqrt{(0.6-0.5)^2+(0.8-\sqrt{0.75})^2}=\sqrt{0.1^2+(-0.066025403)^2}=</math>
<math>=\sqrt{0.014359353}=0.119830521;</math>
:<math>k_6=\sqrt{(x_6-x_7)^2+(y_6-y_7)^2}=\sqrt{(0.5-0.4)^2+(\sqrt{0.75}-\sqrt{0.84})^2}=\sqrt{0.1^2+(-0.050489735)^2}=</math>
<math>=\sqrt{0.012549213}=0.112023271.</math>
 
:<math>a_1=(x_1-x_2)=1-0.9=0.1;</math>
:<math>a_2=(x_2-x_3)=0.9-0.8=0.1;</math>
:<math>a_3=(x_3-x_4)=0.8-0.7=0.1;</math>
:<math>a_4=(x_4-x_5)=0.7-0.6=0.1;</math>
:<math>a_5=(x_5-x_6)=0.6-0.5=0.1;</math>
:<math>a_6=(x_6-x_7)=0.5-0.4=0.1.</math>
Matome, kad <math>\cos 1=0.540302305</math>, bet sudėjus 5 dalis gaunama <math>a_1+ a_2+a_3+ a_4+a_5=0.1+0.1+0.1+0.1+0.1=0.5</math> arba sudėjus 6 dalis gaunama <math>a_1+ a_2+a_3+ a_4+a_5+a_6=0.1+0.1+0.1+0.1+0.1+0.1=0.6</math> (todėl tikslingiau būtų skirstyti po 0,05 tiesę ''a'', kad gautusi 0,55).
Su sinusu reikalai yra tokie <math>\sin 1=0.841470984</math>.
:<math>b_1=(y_2-y_1)=\sqrt{0.19}-0=0.435889894;</math>
:<math>b_2=(y_3-y_2)=0.6-0.435889894=0.164110105;</math>
:<math>b_3=(y_4-y_3)=0.714142842-0.6=0.114142842;</math>
:<math>b_4=(y_5-y_4)=0,8-0.714142842=0.085857157;</math>
:<math>b_5=(y_6-y_5)=0.866025403-0.8=0.066025403;</math>
:<math>b_6=(y_7-y_6)=0.916515139-0.866025403=0,050489735.</math>
:<math>b_1+ b_2+b_3+ b_4+b_5=0,866025401.</math>
:<math>b_1+ b_2+b_3+ b_4+b_5+b_6=0,916515136.</math>
Anoniminis naudotojas