Determinantas taikomas spręsti sistemą su dviem nežinomaisiais:
Surandamas determinantas:
Jei determinantas nelygus nuliui, tai sistema turi tik vieną sprendinį:
kur
Formulės vadinamos Kramerio formulėmis.
Jei D=0, bet arba nelygu 0, tai sistema sprendinių neturi (yra nesuderinta).
Jei , tai sistema turi be galo daug sprendinių (yra neapibrėžta).
Pavyzdys, kaip galima išspręsti sistemą surandant determinantą. Sistema yra tokia:
{x+2y=8,
{3x - y=3.
Sistemos determinantas yra
Toliau į determinanto pirmą stulpelį įstačius dešines lygties puses, randamas
Panašiai randamas
Determinantas 3 3
Didesnėms matricoms determinanto skaičiavimo formulė yra kitokia.
Sistemų sprendimas taikant Kramerio formules
Pagal Kramerio formulę galima surasti sistemos:
sprendinius:
kur
Tokiu būdu randami sistemos sprendiniai ir didesnėms matricoms.
Remdamiesi Kramerio formulėmis, išspręskime tiesinių lygčių sistemą
Kur trečias stulpelis buvo padaugintas iš (-1) ir pridėtas prie pirmo stulpelio (trečias stulpelis nesikeičia).
Kur trečias stulpelis buvo pridėtas prie antro stulpelio.
kur trečias stulpelis buvo padaugintas iš 2 ir pridėtas prie pirmojo stulpelio.
kur trečias stuleplis buvo padaugintas iš (-1) ir pridėtas prie pirmo stulpelio.
Lygčių sprendimas atvirkštinės matricos metodu
Determinanto radimas naudojant adjunktą:
kur 2 ir 3 virš (-1) yra antra eilutė ir trečias stulpelis.
Tiesinių lygčių sistemos sprendimo metodas vadinamas atvirkštinės matricos metodu arba matricų metodu:
Išspręsime sistemą
matricų metodu.
Kur antrą eilutę padauginome iš (-3) ir pridėjome prie pirmos eilutės, ir antrą eilutę padauginome iš (-6) ir pridėjome prie trečios eilutės.
Lygčių sistemos sprendimas Gauso metodu
Pavyzdžiui, turime lygčių sistemą:
Išplėstinės matricos A pirmoje eilutėje parašome trečios eilutės koeficientus, o pirmą ir antrą eilutes nustumiame žemyn:
Šios pertvarkytos išplėstinės matricos pirmą eilutę dauginame iš (-3) ir pridedame prie antros eilutės ir taip pat pirmą eilutę dauginame iš (-2) ir pridedame prie trečios eilutės ir tada gauname tokią išplėstinę matricą:
Toliau matricos antrą eilutę dauginame iš (-2) ir pridedame prie trečios eilutės:
Toliau trečią eilutę dauginame iš 7 ir pridedame prie antros eilutės ir gauname:
Toliau antrą ir trečią eilutes sukeičiame vietomis:
Gauta matrica apibūdina lygčių sistemą
Iš paskutinės lygties
Iš antros lygties surandame
Iš pirmos lygties randame
Lygčių sistema turi vieną sprendinį (2; 1; -3).
Ketvirtos eilės determinantas
Ketvirtos eilės determinantas gali būti paverstas trečios eilės determinantu, pavyzdžiui: