Aptarimas:Matematika/Trilypis integralas: Skirtumas tarp puslapio versijų
Ištrintas turinys Pridėtas turinys
Nėra keitimo santraukos |
→Neteisingos uždavinių salygos: naujas skyrius |
||
23 eilutė:
Kad gauti tūrį dviejuose oktantuose, reikia gautą turį <math>\frac{7203\pi}{4}</math> padauginti iš 2.
:Palyginimui cilindro viename oktante tūris yra <math>V_{cil1}=\frac{\pi r^2 h}{2}=\frac{\pi\cdot 7^2\cdot 14^2}{2}=\frac{\pi\cdot 49\cdot 196}{2}=4802\pi=15085.92792.</math>
== Neteisingos uždavinių salygos ==
*Rasime kūno tūrį ''V'', kurį išpjauna praboloidas <math>z=1-x^2-y^2.</math> Reikšmė ''z'' lygi 1, kai reikšmės ''x'' ir ''y'' lygios 0.
:<math>V=\int_0^1 dx\int_0^1 dy\int_0^{1-x^2-y^2} dz=\int_0^1 dx\int_0^1 dy\; z|_0^{1-x^2-y^2} = \int_0^1 dx\int_0^1((1-x^2-y^2)-0) dy = </math>
:<math>= \int_0^1 dx\int_0^1(1-x^2-y^2) dy = \int_0^1 dx(y-x^2 y-\frac{y^3}{3})|_0^1= \int_0^1 (1-x^2\cdot 1-\frac{1^3}{3})dx= (x-\frac{x^3}{3}-\frac{x}{3})|_0^1= 1-\frac{1^3}{3}-\frac{1}{3}= \frac{1}{3}=0.3(3). </math>
:Kad gauti tūrį keturiuose oktantuose, reikia padauginti iš keturių, tuomet tūris bus lygus <math>V_4=4\cdot\frac{1}{3}=\frac{4}{3}.</math>
:Tūris, kurį gausime atėmę šį tūrį is cilindro tūrio, kurio aukštis h=1 ir spindulys r=1, yra tūris po paraboloidu <math>V_{pp}=V_{cil}-V_4=\pi r^2 h-\int_0^1 dx\int_0^1 dy\int_0^{1-x^2-y^2} dz=\pi\cdot 1^2\cdot 1-\frac{4}{3}=\pi-\frac{4}{3}=3.141592654-1.333333333=1.80825932.</math>
:Rodos šis skaičiavimo būdas neteisingas, nors ir naudojamas matematikos knygoje(-se).
*Rasime kūno tūrį ''V'', esantį po paraboloidu <math>z=x^2+y^2.</math> Reikšmė ''z'' lygi 1, kai reikšmė ''x'' arba ''y'' lygios 1.
:<math>V=\int_0^1 dx\int_0^1 dy\int_0^{x^2+y^2} dz=\int_0^1 dx\int_0^1 dy\; z|_0^{x^2+y^2} = \int_0^1 dx\int_0^1((x^2+y^2)-0) dy = </math>
:<math>= \int_0^1 dx\int_0^1(x^2+y^2) dy = \int_0^1 dx(x^2 y+\frac{y^3}{3})|_0^1= \int_0^1 (x^2\cdot 1+\frac{1^3}{3})dx= (\frac{x^3}{3}+\frac{x}{3})|_0^1= 1-\frac{1^3}{3}+\frac{1}{3}= \frac{2}{3}=0.6(6). </math>
:Kad gauti tūrį keturiuose oktantuose, reikia padauginti iš keturių, tuomet tūris bus lygus <math>V_4=4\cdot\frac{2}{3}=\frac{8}{3}=2.66666667.</math>
*Rasime kūno tūrį ''V'', esantį po paraboloidu <math>z=x^2+y^2.</math> Reikšmė ''z'' lygi <math>z=(\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2=4,</math> kai reikšmė ''x'' arba ''y'' lygios <math>\sqrt{2}</math>.
:<math>V=\int_0^{\sqrt{2}} dx\int_0^{\sqrt{2}} dy\int_0^{x^2+y^2} dz=\int_0^{\sqrt{2}} dx\int_0^{\sqrt{2}} dy\; z|_0^{x^2+y^2} = \int_0^{\sqrt{2}} dx\int_0^{\sqrt{2}}((x^2+y^2)-0) dy = </math>
:<math>= \int_0^{\sqrt{2}} dx\int_0^{\sqrt{2}}(x^2+y^2) dy = \int_0^{\sqrt{2}} dx(x^2 y+\frac{y^3}{3})|_0^{\sqrt{2}}= \int_0^{\sqrt{2}} (x^2\cdot \sqrt{2}+\frac{(\sqrt{2})^3}{3})dx=</math>
:<math>= (\sqrt{2}\frac{x^3}{3}+\sqrt{2^3}\cdot\frac{x}{3})|_0^{\sqrt{2}}= \sqrt{2}\frac{(\sqrt{2})^3}{3}+\sqrt{2^3}\cdot\frac{\sqrt{2}}{3}= \frac{(\sqrt{2})^4}{3}+\sqrt{2^4}\cdot\frac{1}{3}= </math>
:<math>=\frac{4}{3}+\frac{4}{3}=\frac{8}{3}=2.6666667. </math>
:Kad gauti tūrį keturiuose oktantuose, reikia padauginti iš keturių, tuomet tūris bus lygus <math>V_4=4\cdot\frac{8}{3}=\frac{32}{3}=10.66666667.</math>
| |||