Aptarimas:Matematika/Trilypis integralas: Skirtumas tarp puslapio versijų

Ištrintas turinys Pridėtas turinys
44 eilutė:
:<math>=\frac{4}{3}+\frac{4}{3}=\frac{8}{3}=2.6666667. </math>
:Kad gauti tūrį keturiuose oktantuose, reikia padauginti iš keturių, tuomet tūris bus lygus <math>V_4=4\cdot\frac{8}{3}=\frac{32}{3}=10.66666667.</math>
 
 
*'''Pavyzdis'''. Rasti kūno tūrį ''V'', išpjaunamą iš begalinės prizmės su kraštais <math>x=\pm 2, \; y=\pm 2</math> paraboloidais <math>x^2+y^2=4-z,</math> <math>x^2+y^2=4(z+2)</math>.
:<math>z_1=4-x^2-y^2,</math> <math>z_2=\frac{x^2+y^2}{4}-2.</math> Kai reikšmės ''x'' ir ''y'' yra 0, tai <math>z_1=4</math>, <math>z_2=-2,</math> šie taškai ir yra aukčiausias ir žemiausias taškai. Kai, pavyzdžiui, <math>x=2</math>, <math>y=0</math>, tada <math>z_1=4-x^2-y^2=4-2^2-0^2=0,</math> <math>z_2=\frac{2^2+0^2}{4}-2=-1.</math>
<math>V=\int_0^2 \mathsf{d}x\int_0^2 \mathsf{d}y \int_{\frac{x^2+y^2}{4}-2}^{4-x^2-y^2} \mathsf{d}z=\int_0^2 \mathsf{d}x\int_0^2 \mathsf{d}y \; z|_{\frac{x^2+y^2}{4}-2}^{4-x^2-y^2}=\int_0^2 \mathsf{d}x\int_0^2 [(4-x^2-y^2)-(\frac{x^2+y^2}{4}-2)] \mathsf{d}y=</math>
:<math>=\int_0^2 \mathsf{d}x\int_0^2 (6-x^2-y^2-\frac{x^2+y^2}{4}) \mathsf{d}y=\int_0^2 \mathsf{d}x (6y-x^2 y-\frac{y^3}{3}-\frac{x^2 y}{4}-\frac{y^3}{4\cdot 3})|_0^2 =\int_0^2 (6\cdot 2-x^2\cdot 1 -\frac{2^3}{3}-\frac{x^2 \cdot 1}{4}-\frac{2^3}{12}) \mathsf{d}x=</math>
:<math>=\int_0^2 (12-x^2 -\frac{8}{3}-\frac{x^2 }{4}-\frac{8}{12}) \mathsf{d}x=\int_0^2 (\frac{12\cdot 12-8\cdot 4-8}{12}-x^2-\frac{x^2 }{4}) \mathsf{d}x=\int_0^2 (\frac{144-32-8}{12}-x^2-\frac{x^2 }{4}) \mathsf{d}x=</math>
:<math>=\int_0^2 (\frac{104}{12}-x^2-\frac{x^2 }{4}) \mathsf{d}x= (\frac{104 x}{12}-\frac{x^3}{3}-\frac{x^3 }{4\cdot 3})|_0^2 = \frac{104 \cdot 2}{12}-\frac{2^3}{3}-\frac{2^3 }{12} =\frac{208-4\cdot 8-8}{12}=\frac{168}{12} =14.</math>
Kad gauti tūrį visuose 8-iuose oktantuose, reikia <math>14</math> padauginti iš 4.
:Palyginimui, stačiakampio gretasienio tūris, kurio kraštinės a=2, b=2, c=6 yra lygus <math>V_{big}=2\cdot 2\cdot 6=24.</math>
Grįžti į "Matematika/Trilypis integralas" puslapį.