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:Vadinasi arba x=0 arba <math>ax^2+bx+c.</math>
Išsprendžiame kvadratinę lygtį ir gauname tris realiasias šaknis arba dvi, arba vieną x=0, kai diskriminantas neigiamas.
==Pilnosios kubinės lygties šaknų radimas==
Pilnosios kūbinės lygties <math>ax^3+bx^2+cx+d=0</math> šaknys yra šios:
:<math>\begin{align}
x_1 =
&-\frac{b}{3 a}\\
&-\frac{1}{3 a} \sqrt[3]{\tfrac12\left[2 b^3-9 a b c+27 a^2 d+\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}\right]}\\
&-\frac{1}{3 a} \sqrt[3]{\tfrac12\left[2 b^3-9 a b c+27 a^2 d-\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}\right]}\\
x_2 =
&-\frac{b}{3 a}\\
&+\frac{1+i \sqrt{3}}{6 a} \sqrt[3]{\tfrac12\left[2 b^3-9 a b c+27 a^2 d+\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}\right]}\\
&+\frac{1-i \sqrt{3}}{6 a} \sqrt[3]{\tfrac12\left[2 b^3-9 a b c+27 a^2 d-\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}\right]}\\
x_3 =
&-\frac{b}{3 a}\\
&+\frac{1-i \sqrt{3}}{6 a} \sqrt[3]{\tfrac12\left[2 b^3-9 a b c+27 a^2 d+\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}\right]}\\
&+\frac{1+i \sqrt{3}}{6 a} \sqrt[3]{\tfrac12\left[2 b^3-9 a b c+27 a^2 d-\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}\right]}
\end{align}</math>
:Realiosios šaknys yra blogos, jei po šia šaknimi <math>\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}</math> gaunamas skaičius su minusu.
*'''Pavyzdis'''. Rasime nepilnos kubinės lygties <math>x^3-6x+9=0</math> realiasias šaknis, kurios <math>a=1</math>, <math>b=0</math>, <math>c=-6</math> ir <math>d=9</math>. Randame sprendinį:
:<math>x_1=-\frac{b}{3 a}-\frac{1}{3 a} \sqrt[3]{\frac{1}{2}\cdot \left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d+\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}\right)}-</math>
:<math>-\frac{1}{3 a} \sqrt[3]{\frac{1}{2}\cdot \left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d-\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}\right)}=</math>
:<math>=-\frac{0}{3 }-\frac{1}{3 } \sqrt[3]{\frac{1}{2}\cdot \left(2\cdot 0^3-0+27 \cdot 9+\sqrt{\left(2 \cdot 0^3-0+27 \cdot 9\right)^2-4 \left(0^2-3 \cdot (-6)\right)^3}\right)}-</math>
:<math>-\frac{1}{3 } \sqrt[3]{\frac{1}{2}\cdot \left(2\cdot 0^3-0+27 \cdot 9-\sqrt{\left(2\cdot 0^3-0+27 \cdot 9\right)^2-4 (0^2-3 \cdot (-6))^3}\right)}=</math>
:<math>=-\frac{1}{3 } \sqrt[3]{\frac{1}{2}\cdot \left(243+\sqrt{243^2-4 \cdot 18^3}\right)}-\frac{1}{3 } \sqrt[3]{\frac{1}{2}\cdot \left(243-\sqrt{243^2-4 \cdot 18^3}\right)}=</math>
:<math>=-\frac{1}{3 } \sqrt[3]{\frac{1}{2}\cdot \left(243+\sqrt{59049-23328}\right)}-\frac{1}{3 } \sqrt[3]{\frac{1}{2}\cdot \left(243-\sqrt{59049-23328}\right)}=</math>
:<math>=-\frac{1}{3 } \sqrt[3]{\frac{1}{2}\cdot \left(243+\sqrt{35721}\right)}-\frac{1}{3 } \sqrt[3]{\frac{1}{2}\cdot \left(243-\sqrt{35721}\right)}=-\frac{1}{3 } \sqrt[3]{\frac{1}{2}\cdot \left(243+189\right)}-\frac{1}{3 } \sqrt[3]{\frac{1}{2}\cdot \left(243-189\right)}=</math>
:<math>=-\frac{1}{3 } \sqrt[3]{216}-\frac{1}{3 } \sqrt[3]{54}=-\frac{1}{3 }\cdot 6-\frac{1}{3 }\cdot 3\sqrt[3]{2}=-2-\sqrt[3]{2}=-3.25992105.</math>
:Patikriname ar sprendinys teisingas:
<math>x_1^3-6 x_1+9=(-3.25992105)^3-6 (-3.25992105)+9=-34.64345891+19.5595263+9=-6.083932611.</math>
*'''Pavyzdis'''. Rasime pilnosios kubinės lygties <math>x^3+3x^2-3x-14=0</math> realiasias šaknis, kurios <math>a=1</math>, <math>b=3</math>, <math>c=-3</math> ir <math>d=-14</math>. Randame sprendinį:
:<math>x_2=-\frac{1}{3 a} \sqrt[3]{\frac{1}{2}\cdot \left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d-\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}\right)}=</math>
:<math>=-\frac{1}{3 } \sqrt[3]{\frac{1}{2}\cdot \left(2 \cdot 3^3-9 \cdot 3\cdot (-3)+27\cdot 1^2 \cdot(-14)-\sqrt{\left(2 \cdot 3^3-9 \cdot 3 \cdot(-3)+27 \cdot 1^2 \cdot (-14)\right)^2-4 \left(3^2-3 \cdot (-3)\right)^3}\right)}=</math>
:<math>=-\frac{1}{3 } \sqrt[3]{\frac{1}{2}\cdot \left(2 \cdot 9-9 \cdot (-9)+27\cdot (-14)-\sqrt{\left(2 \cdot 27-9 \cdot (-9)+27 \cdot (-14)\right)^2-4 \left(9+9\right)^3}\right)}=</math>
:<math>=-\frac{1}{3 } \sqrt[3]{\frac{1}{2}\cdot \left(18+81-378-\sqrt{(54+81-378)^2-4\cdot 18^3}\right)}=-\frac{1}{3 } \sqrt[3]{\frac{1}{2}\cdot \left(99-378-\sqrt{(135-378)^2-4\cdot 5832}\right)}=</math>
:<math>=-\frac{1}{3 } \sqrt[3]{\frac{1}{2}\cdot \left(-279-\sqrt{(-243)^2-23328}\right)}=-\frac{1}{3 } \sqrt[3]{\frac{1}{2}\cdot \left(-279-\sqrt{59049-23328}\right)}=-\frac{1}{3 } \sqrt[3]{\frac{1}{2}\cdot \left(-279-\sqrt{35721}\right)}=</math>
:<math>=-\frac{1}{3 } \sqrt[3]{\frac{1}{2}\cdot \left(-279-189\right)}=-\frac{1}{3 } \sqrt[3]{\frac{1}{2}\cdot (-468)}=-\frac{1}{3 } \sqrt[3]{-234}=\frac{6.162240148}{3 } =2.054080049.</math>
:<math>\left(\frac{\sqrt[3]{-234}}{3 }\right)^3+3\left(\frac{\sqrt[3]{-234}}{3 }\right)^2-3\left(\frac{\sqrt[3]{-234}}{3 }\right)-14=1.162161065.</math>
==Kubinės lygties sprendimas Kordano metodu==
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