Aptarimas:Matematika/Vektorius: Skirtumas tarp puslapio versijų
Ištrintas turinys Pridėtas turinys
Nėra keitimo santraukos |
→Palikimas laiko gaišimo: naujas skyrius |
||
117 eilutė:
:<math>=\frac{8}{\sqrt{6}\cdot\sqrt{14}}=\frac{8}{ \sqrt{84}}=0,095238095.</math>
:<math>\phi=\arccos 0,095238095=1,475413668</math> arba 84,5349762 laipsnių.
== Palikimas laiko gaišimo ==
*'''Pavyzdis.''' Trikampės piramidės viršūnės yra taškai ''A''(3; -1; 5), ''B''(5; 2; 6), ''C''(-1; 3; 4) ir ''D''(7; 3; -1). Apskaičiuosime šios piramidės tūrį ir aukštinės, nuleistos iš taško ''D'' į sieną ''ABC'', ilgį.
:''Sprendimas''. Nubraižykime tris vektorius, išeinančius iš vieno taško, pavyzdžiui, iš taško ''A'': '''AB''', '''AC''', '''AD'''. Žinome, kad trikampės piramidės tūris
<math>V_{pir.}=\frac{1}{6}|(AB\times AC)\cdot AD|.</math>
:Randame vektorių ''AB'', ''AC'' ir ''AD'' koordinates:
:'''AB'''=B-A=(5-3; 2-(-1); 6-5)={2; 3; 1},
:'''AC'''=C-A=(-1-3; 3-(-1); 4-5)={-4; 4; -1},
:'''AD'''=D-A=(7-3; 3-(-1); -1-5)={4; 4; -6}.
:Apskaičiuojame mišriąją gautų vektorių sandaugą:
:<math>(AB\times AC)\cdot AD=\begin{vmatrix} 2 & 3 & 1 \\ -4 & 4 & -1 \\ 4 & 4 & -6 \end{vmatrix}=2\cdot (-1)^{1+1}\begin{vmatrix} 4 & -1 \\ 4 & -6 \end{vmatrix}+3\cdot(-1)^{1+2}\begin{vmatrix} -4 & -1 \\ 4 & -6 \end{vmatrix}+1\cdot(-1)^{1+3}\begin{vmatrix} -4 & 4 \\ 4 & 4 \end{vmatrix}=</math>
:<math>=2\cdot (-1)^2\cdot (4\cdot (-6)-(-1)\cdot 4)+3\cdot (-1)^3\cdot ((-4)\cdot (-6)-(-1)\cdot 4)+1\cdot(-1)^{4}\cdot ((-4)\cdot 4-4\cdot 4)=</math>
:<math>=2\cdot (-24+4)-3\cdot (24+4)+1\cdot (-16-16)=2\cdot (-20)-3\cdot 28-32=-40-84-32=-156.</math>
:Tada trikampės piramidės tūris
<math>V_{pir.}=\frac{1}{6}\cdot |-156|=\frac{156}{6}=26.</math>
:Norėdami rasti piramidės aukštinę ''h'', pritaikykime kitą piramidės tūrio formulę:
<math>V_{pir.}=\frac{1}{3}\cdot S_{\Delta ABC}\cdot h.</math>
:Bet <math>S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}\cdot \|AB\times AC\|,</math> todėl
:<math>V_{pir.}=\frac{1}{6}\cdot \|AB\times AC\|\cdot h.</math>
:Sulygindami šią formulę su ankstesne piramidės formule, gauname:
:<math>\frac{1}{6}|(AB\times AC)\cdot AD|=\frac{1}{6}\cdot \|AB\times AC\|\cdot h;</math>
:<math>h=\frac{|(AB\times AC)\cdot AD|}{\|AB\times AC\|}=\frac{156}{\sqrt{453}}=7.329519377,</math>
:kur <math>AB\times AC=\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 3 & 1 \\ -4 & 4 & -1\end{vmatrix}=\mathbf{i}\cdot(-1)^{1+1}\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 4 & -1 \end{vmatrix}+\mathbf{j}\cdot(-1)^{1+2}\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ -4 & -1 \end{vmatrix}+\mathbf{k}\cdot(-1)^{1+3}\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ -4 & 4 \end{vmatrix}=</math>
<math>=\mathbf{i}\cdot (3\cdot (-1)-1\cdot 4)-\mathbf{j}\cdot (2\cdot (-1)-1\cdot (-4))+\mathbf{k}\cdot(2\cdot 4- 3\cdot (-4))=\mathbf{i}\cdot(-3-4)-\mathbf{j}\cdot (-2+4)+\mathbf{k}\cdot(8+12)=-7\mathbf{i}-2\mathbf{j}+20\mathbf{k}=(-7; -2; 20);</math>
:<math>\|AB\times AC\|=\sqrt{(-7)^2+(-2)^2+20^2}=\sqrt{49+4+400}=\sqrt{453}.</math>
:Toliau pabandysime įrodyti, kad piramidės tūris surastas teisingai. Mes jau turime vieno lygiagretainio plotą į kurį įeina trikampio ''ABC'' plotas:
:<math>S_{\Delta\nabla 1}=2\cdot S_{\Delta ABC}=2\cdot \frac{1}{2}\cdot \|AB\times AC\|=\|AB\times AC\|=\sqrt{453}=21.28379665.</math>
:Antro lygiagretainio plotas yra <math>S_{\Delta\nabla 2}=2\cdot S_{\Delta ACD}=\|AD\times AC\|.</math>
:<math>AD\times AC=\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 4 & 4 & -6 \\ -4 & 4 & -1\end{vmatrix}=\mathbf{i}\cdot(-1)^{1+1}\begin{vmatrix} 4 & -6 \\ 4 & -1 \end{vmatrix}+\mathbf{j}\cdot(-1)^{1+2}\begin{vmatrix} 4 & -6 \\ -4 & -1 \end{vmatrix}+\mathbf{k}\cdot(-1)^{1+3}\begin{vmatrix} 4 & 4 \\ -4 & 4 \end{vmatrix}=</math>
<math>=\mathbf{i}\cdot (4\cdot (-1)-(-6)\cdot 4)-\mathbf{j}\cdot (4\cdot (-1)-(-6)\cdot (-4))+\mathbf{k}\cdot(4\cdot 4- 4\cdot (-4))=\mathbf{i}\cdot(-4+24)-\mathbf{j}\cdot (-4-24)+\mathbf{k}\cdot(16+16)=20\mathbf{i}+28\mathbf{j}+32\mathbf{k}=(20; 28; 32);</math>
:<math>S_{\Delta\nabla 2}=\|AD\times AC\|=\sqrt{20^2+28^2+32^2}=\sqrt{400+784+1024}=\sqrt{2208}=46.9893605.</math>
:Dabar, jeigu tiesė ''CD''=t yra statmena plokštumai ''ACD'', tai piramidės tūris yra lygus
<math>V_{pir.}=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot \|AB\times AC\|\cdot t=\frac{1}{6}\cdot \sqrt{453}\cdot \sqrt{89}=33.46515601,</math>
:kur <math>CD=t=\sqrt{(7-(-1))^2+(3-3)^2+(-1-4)^2}=\sqrt{8^2+0^2+(-5)^2}=\sqrt{64+0+25}=\sqrt{89}=9.433981132.</math>
:Piramidės Tūris gavosi neteisingas (turėjo būti 26). Vadinasi atkarpa ''CD'' nėra stati plokštumai ABC. Bet galbūt tiesė ''CB''=f yra stati plokštumai ACD, tai mes ir pabandysime išsiaiškinti. Randame jos ilgį:
:<math>CB=f=\sqrt{(5-(-1))^2+(2-3)^2+(6-4)^2}=\sqrt{6^2+1+2^2}=\sqrt{36+1+4}=\sqrt{41}=6.403124237.</math>
:<math>V_{pir.}=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot \|AD\times AC\|\cdot f=\frac{1}{6}\cdot \sqrt{453}\cdot \sqrt{41}=22.71379904.</math>
:Panašu, kad tai laiko gaišimas, kad patikrinti visų tiesių statumą ir, kad tokiu būdų nepavyks įrodyti mišrios vektorių sandaugos formulės teisingumo piramidei.
| |||