Aptarimas:Matematika/Vektorius: Skirtumas tarp puslapio versijų
Ištrintas turinys Pridėtas turinys
→Palikimas laiko gaišimo: naujas skyrius |
→Neaišku ar vektoriai sudaro piramidę: naujas skyrius |
||
156 eilutė:
:<math>V_{pir.}=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot \|AD\times AC\|\cdot f=\frac{1}{6}\cdot \sqrt{453}\cdot \sqrt{41}=22.71379904.</math>
:Panašu, kad tai laiko gaišimas, kad patikrinti visų tiesių statumą ir, kad tokiu būdų nepavyks įrodyti mišrios vektorių sandaugos formulės teisingumo piramidei.
== Neaišku ar vektoriai sudaro piramidę ==
*Duoti vektoriai '''a'''=(3; 4; 5), '''b'''=(4; 3; 5), '''c'''=(-3; -4; 5). Vektorius '''c''' su vektoriu '''b''' sudaro beveik 90 laipsnių kampą. Vektorius '''c''' su vektorium '''b''' sudaro kampą
:<math>\cos \theta= \frac{b \cdot c}{||b||\cdot ||c||}=\frac{4\cdot (-3)+3\cdot (-4)+5\cdot 5}{\sqrt{4^2+3^2+5^2}\cdot \sqrt{(-3)^2+(-4)^2}+5^2}=\frac{1}{\sqrt{16+9+25}\cdot\sqrt{9+16+25}}=</math>
:<math>=\frac{1}{\sqrt{50}\cdot\sqrt{50}}=\frac{1}{50}=0.02;</math>
:<math>\theta=\arccos\frac{1}{50}=1.550794993</math> arba 88.854008 laipsnių. Taigi vektorius c yra beveik status abiems vektorioms, ko ir reikia norint surasti apytikslu lygiagretainio gretasienio tūrį (vektoriu c parinkti taip, kad butu status abiems vektoriams yra begalo sunku). Galime patikrinti, kad vektorius c su vektorium a tikrai sudaro 90 laipsniu kampą:
:<math>\cos \phi= \frac{a \cdot c}{||a||\cdot ||c||}=\frac{3\cdot (-3)+4\cdot (-4)+5\cdot 5}{\sqrt{3^2+4^2+5^2}\cdot \sqrt{(-3)^2+(-4)^2}+5^2}=\frac{0}{\sqrt{9+16+25}\cdot\sqrt{9+16+25}}=</math>
:<math>=\frac{0}{\sqrt{50}\cdot\sqrt{50}}=0.</math>
:<math>\phi=\arccos 0={\pi\over 2}=1.570796327</math> arba 90 laipsnių.
Rasime lygiagretainio gretasienio [[tūris|tūrį]]:
:<math>V=\begin{vmatrix} 3 & 4 & 5 \\ 4 & 3 & 5 \\ -3 & -4 & 5 \end{vmatrix}=3\cdot 3\cdot 5+4\cdot 5\cdot (-3)+5\cdot 4\cdot (-4)-3\cdot 5\cdot (-4)-4\cdot 4\cdot 5-5\cdot 2\cdot (-3)=</math>
<math>=45-60-80+60-80+30=-85.</math>
:Patikriname:
:<math>a\times b=\begin{vmatrix} i & j & k \\ 3 & 4 & 5 \\ 4 & 3 & 5\end{vmatrix}=</math>
:<math>=i\cdot 4\cdot 5+j\cdot 5\cdot 4+k\cdot 3\cdot 3-i\cdot 5\cdot 3-j\cdot 3\cdot 5-k\cdot 4\cdot 4=</math>
<math>=20i-15i+20j-15j+9k-16k=0i+0j-4k=(5; 5; -7).</math>
:<math>||a\times b||=\sqrt{5^2+5^2+(-7)^2}=\sqrt{25+25+49}=\sqrt{99}=9.949874371.</math>
:<math>||c||=\sqrt{(-3)^2+(-4)^2+5^2}=\sqrt{50}=7.071067812.</math>
:<math>V=||a\times b||\cdot ||c||=\sqrt{99}\cdot\sqrt{50}=\sqrt{4950}=70.3562364.</math>
:Patikriname taikydami Herono formulę.
:<math>||a||=\sqrt{3^2+4^2+5^2}=\sqrt{50}=7.071067812.</math>
:<math>||b||=\sqrt{4^2+3^2+5^2}=\sqrt{50}=7.071067812.</math>
Atstumas tarp taškų a=(3; 4; 5) ir b=(4; 3; 5) yra lygus:
<math>f=\sqrt{(3-4)^2+(4-3)^2+(5-5)^2}=\sqrt{2}=1.414213562.</math>
:<math>p={a+b+f\over 2}={\sqrt{50}+\sqrt{50}+\sqrt{2}\over 2}=\sqrt{50}+{\sqrt{2}\over 2}=7.778174593.</math>
:<math>S_{\Delta} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-f)} =</math>
<math>=\sqrt{7.778174593(\sqrt{50}+{\sqrt{2}\over 2}-\sqrt{50})(\sqrt{50}+{\sqrt{2}\over 2}-\sqrt{50})(\sqrt{50}+{\sqrt{2}\over 2}-\sqrt{2})}=</math>
:<math>=\sqrt{7.778174593\cdot {\sqrt{2}\over 2}\cdot {\sqrt{2}\over 2}\cdot (\sqrt{50}-{\sqrt{2}\over 2})}=\sqrt{7.778174593\cdot {1\over 2} \cdot 6.363961031}=\sqrt{24.75}=4.974937186.</math>
:<math>S=2S_{\Delta}=2\cdot 4.974937186=9.949874371.</math>
:<math>V=S\cdot ||c||=9.949874371\cdot \sqrt{50}=70.3562364.</math>
*'''Pavyzdis'''. Duoti vektoriai '''a'''=(3; 4; 5), '''b'''=(4; 3; 5), '''c'''=(-3; -4; 5). Vektorius '''c''' su vektorium '''b''' sudaro kampą
:<math>\cos \theta= \frac{\mathbf{b} \cdot \mathbf{c}}{\|\mathbf{b}\|\cdot \|\mathbf{c}\|}=\frac{4\cdot (-3)+3\cdot (-4)+5\cdot 5}{\sqrt{4^2+3^2+5^2}\cdot \sqrt{(-3)^2+(-4)^2}+5^2}=\frac{1}{\sqrt{16+9+25}\cdot\sqrt{9+16+25}}=</math>
:<math>=\frac{1}{\sqrt{50}\cdot\sqrt{50}}=\frac{1}{50}=0.02;</math>
:<math>\theta=\arccos\frac{1}{50}=1.550794993</math> arba 88.854008 laipsnių.
:Vektorius '''c''' su vektorium '''a''' sudaro kampą:
:<math>\cos \phi= \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}}{\|\mathbf{a}\|\cdot \|\mathbf{c}\|}=\frac{3\cdot (-3)+4\cdot (-4)+5\cdot 5}{\sqrt{3^2+4^2+5^2}\cdot \sqrt{(-3)^2+(-4)^2}+5^2}=\frac{0}{\sqrt{9+16+25}\cdot\sqrt{9+16+25}}=</math>
:<math>=\frac{0}{\sqrt{50}\cdot\sqrt{50}}=0.</math>
:<math>\phi=\arccos( 0)={\pi\over 2}=1.570796327</math> arba 90 laipsnių.
:Kadangi vektorius '''a''' su vektoriumi '''c''' sudaro statų kampą, tai vektoriaus '''c''' ilgis yra aukštinė piramidės, kurios pagrindas yra trikampis sudarytas iš vektorių '''a''' ir '''b'''. Apskaičiuosime to trikampio plotą
:<math>\mathbf{a}\times \mathbf{b}=\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3 & 4 & 5 \\ 4 & 3 & 5\end{vmatrix}=i\cdot 4\cdot 5+j\cdot 5\cdot 4+k\cdot 3\cdot 3-i\cdot 5\cdot 3-j\cdot 3\cdot 5-k\cdot 4\cdot 4=</math>
<math>=20i-15i+20j-15j+9k-16k=0i+0j-4k=(5; 5; -7),</math>
:<math>S_{\Delta}=\frac{1}{2}\cdot \|\mathbf{a}\times \mathbf{b}\|=\frac{1}{2}\cdot\sqrt{5^2+5^2+(-7)^2}=\frac{1}{2}\cdot\sqrt{25+25+49}=\frac{1}{2}\cdot\sqrt{99}=4.974937186.</math>
:Randame piramidės, kurią sudaro vektoriai '''a''', '''b''' ir '''c''' aukštinę ''h'', taigi:
:<math>h=\|\mathbf{c}\|=\sqrt{(-3)^2+(-4)^2+5^2}=\sqrt{9+16+25}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}=7.071067812.</math>
:Randame piramidės, kurią sudaro vektoriai '''a''', '''b''' ir '''c''' tūrį:
:<math>V_{pir.}=\frac{1}{3}\cdot S_{\Delta} \cdot h=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\sqrt{99} \cdot 5\sqrt{2}=\frac{5\sqrt{198}}{6}=11.7260394.</math>
:Bandydami gauti piramidės tūrį, kurią sudaro vektoriai '''a''', '''b''', '''c''', naudodami mišriąją vektorių sandaugą, gausime neteisingą atsakymą:
:<math>(\mathbf{a}\times \mathbf{b})\cdot \mathbf{c}=\begin{vmatrix} 3 & 4 & 5 \\ 4 & 3 & 5 \\ -3 & -4 & 5 \end{vmatrix}=3\cdot 3\cdot 5+4\cdot 5\cdot (-3)+5\cdot 4\cdot (-4)-3\cdot 5\cdot (-4)-4\cdot 4\cdot 5-5\cdot 2\cdot (-3)=</math>
<math>=45-60-80+60-80+30=-85;</math>
:<math>V_{pir.}=\frac{1}{6}\cdot |(\mathbf{a}\times \mathbf{b})\cdot \mathbf{c}|=\frac{1}{6}\cdot |-85|=\frac{85}{6}=14.16666667.</math>
| |||