Aptarimas:Matematika/Vektorius: Skirtumas tarp puslapio versijų

Ištrintas turinys Pridėtas turinys
209 eilutė:
<math>=45-60-80+60-80+30=-85;</math>
:<math>V_{pir.}=\frac{1}{6}\cdot |(\mathbf{a}\times \mathbf{b})\cdot \mathbf{c}|=\frac{1}{6}\cdot |-85|=\frac{85}{6}=14.16666667.</math>
 
== Klaidingas tikrinimas ==
 
*'''Pavyzdis'''. Duoti vektoriai '''a'''={8; 6; 2}, '''b'''={5; 9; 3}, '''c'''={1; 2; 7}. Apskaičiuosime piramidės, kurią sudaro šie vektoriai, tūrį ''V''.
:''Sprendimas''. Piramidės tūris yra lygus 1/6 mišrios vektorių '''a'''={8; 6; 2}, '''b'''={5; 9; 3}, '''c'''={1; 2; 7} sandaugos. Taigi:
:<math>(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\cdot \mathbf{c}=\begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ b_z & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 8 & 6 & 2 \\ 5 & 9 & 3 \\ 1 & 2 & 7 \end{vmatrix}=8\cdot (-1)^{1+3}\begin{vmatrix} 9 & 3 \\ 2 & 7 \end{vmatrix}+6\cdot(-1)^{1+2}\begin{vmatrix} 5 & 3 \\ 1 & 7 \end{vmatrix}+2\cdot(-1)^{1+3}\begin{vmatrix} 5 & 9 \\ 1 & 2 \end{vmatrix}=</math>
:<math>=8\cdot (9\cdot 7-3\cdot 2)-6\cdot(5\cdot 7-3\cdot 1)+2\cdot (5\cdot 2-9\cdot 1)=8\cdot (63-6)-6\cdot (35-3)+2\cdot (10-9)=8\cdot 57-6\cdot 32+2\cdot 1=285-192+2=95.</math>
:<math>V=\frac{1}{6}\cdot |(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\cdot \mathbf{c}|=\frac{1}{6}\cdot |95|=\frac{95}{6}=15.833333333.</math>
:Patikrinsime ar tūrio radimo formulė teisinga, rasdami pusiaukampinės vektorių '''d''' tarp vektorių '''a''' ir '''b''' ir apskaičiuodami pirmidės aukštinės ''h'' ilgį nuleistos į pirmidės pagrindą (trikampį), kurį sudaro vektoriai '''a''' ir '''b'''. Taigi,
:<math>\vec{d}=\frac{\vec{a}}{\|\vec{a}\|}+\frac{\vec{b}}{\|\vec{b}\|}=\frac{8i+6j + 2 k}{\sqrt{8^2+6^2+2^2}}+\frac{5i+9j+ 3 k}{\sqrt{5^2+9^2+3^2}}= \frac{8i+6j + 2 k}{\sqrt{64+36+4}}+\frac{5i+9j+ 3 k}{\sqrt{25+81+9}}=</math>
:<math>= \frac{8i+6j + 2 k}{\sqrt{104}}+\frac{5i+9j+ 3 k}{\sqrt{115}}=\frac{8i}{\sqrt{104}}+\frac{5i}{\sqrt{115}}+\frac{6j }{\sqrt{104}}+\frac{9j }{\sqrt{115}}+\frac{ 2k}{\sqrt{104}}+\frac{3 k}{\sqrt{115}}=</math>
:<math>=\frac{8\sqrt{115}+5\sqrt{104}}{\sqrt{11960}}i+\frac{6\sqrt{115}+9\sqrt{104}}{\sqrt{11960}}j+\frac{ 2\sqrt{115}+3\sqrt{104}}{\sqrt{11960}}k=1.250716945 \mathsf{i}+1.427602733\mathsf{j}+0.475867577\mathsf{k}.</math>
:Surandame kampą tarp vektorių '''d''' ir '''c''':
:<math>\cos\phi_3=\frac{1.250716945\cdot 1+1.427602733\cdot 2+0.475867577\cdot 7}{\sqrt{1.250716945^2+1.427602733^2+0.475867577^2}\cdot \sqrt{1^2+2^2+7^2}}=</math>
:<math>=\frac{1.250716945+2.855205466+3.331073039}{\sqrt{1.564292876+2.038049563+0.22644995}\cdot \sqrt{1+4+49}}=\frac{7.43699545}{\sqrt{3.82879239}\cdot \sqrt{54}}=\frac{7.43699545}{\sqrt{206.754789}}=\frac{7.43699545}{14.37897037}=0.517213351.</math>
:<math>\phi_3=\arccos(0.517213351)=1.027204568</math> radiano arba 58.85448647 laipsnio.
:Tuomet aukštinės ilgis yra:
:<math>h=\|\vec{c}\|\cdot \sin\phi_3=\sqrt{1+4+49}\cdot \sin(1.027204568)=\sqrt{54}\cdot 0.8558565=6.289235158.</math>
:<math>\vec{a}\times\vec{b}=\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 8 & 6 & 2 \\ 5 & 9 & 3\end{vmatrix}=\mathbf{i}\cdot(-1)^{1+1}\begin{vmatrix} 6 & 2 \\ 9 & 3 \end{vmatrix}+\mathbf{j}\cdot(-1)^{1+2}\begin{vmatrix} 8 & 2 \\ 5 & 3 \end{vmatrix}+\mathbf{k}\cdot(-1)^{1+3}\begin{vmatrix} 8 & 6 \\ 5 & 9 \end{vmatrix}=</math>
<math>=\mathbf{i}\cdot (6\cdot 3-2\cdot 9)-\mathbf{j}\cdot (8\cdot 3-2\cdot 5)+\mathbf{k}\cdot(8\cdot 9- 6\cdot 5)=(18-18)\mathbf{i}-(24-10)\mathbf{j} +(72-30)\mathbf{k}=0\mathbf{i}-14\mathbf{j} +42\mathbf{k}=(0; -14; 42);</math>
:<math>S_{\Delta }=\frac{1}{2}\cdot \|\mathbf{a}\times\mathbf{b}\|=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{0^2+(-14)^2+42^2}=\frac{1}{2}\cdot\sqrt{196+1764}=\frac{1}{2}\cdot\sqrt{1960}=\sqrt{490}=22.13594362.</math>
:Piramidės tūris yra:
:<math>V=\frac{1}{3}\cdot S_{\Delta }\cdot h=\frac{1}{3}\cdot\sqrt{490}\cdot 6.289235158 =46.40605163.</math>
Grįžti į "Matematika/Vektorius" puslapį.