Aptarimas:Matematika/Vektorius: Skirtumas tarp puslapio versijų
Ištrintas turinys Pridėtas turinys
→Klaidingas tikrinimas: naujas skyrius |
→Klaidingas patikrinimas 2: naujas skyrius |
||
232 eilutė:
:Piramidės tūris yra:
:<math>V=\frac{1}{3}\cdot S_{\Delta }\cdot h=\frac{1}{3}\cdot\sqrt{490}\cdot 6.289235158 =46.40605163.</math>
== Klaidingas patikrinimas 2 ==
*'''Pavyzdis.''' Trikampės piramidės viršūnės yra taškai ''A''(3; -1; 5), ''B''(5; 2; 6), ''C''(-1; 3; 4) ir ''D''(7; 3; -1). Apskaičiuosime šios piramidės tūrį ir aukštinės, nuleistos iš taško ''D'' į sieną ''ABC'', ilgį.
:''Sprendimas''. Nubraižykime tris vektorius, išeinančius iš vieno taško, pavyzdžiui, iš taško ''A'': '''AB''', '''AC''', '''AD'''. Žinome, kad trikampės piramidės tūris
<math>V_{pir.}=\frac{1}{6}|(AB\times AC)\cdot AD|.</math>
:Randame vektorių ''AB'', ''AC'' ir ''AD'' koordinates:
:'''AB'''=B-A=(5-3; 2-(-1); 6-5)={2; 3; 1},
:'''AC'''=C-A=(-1-3; 3-(-1); 4-5)={-4; 4; -1},
:'''AD'''=D-A=(7-3; 3-(-1); -1-5)={4; 4; -6}.
:Apskaičiuojame mišriąją gautų vektorių sandaugą:
:<math>(AB\times AC)\cdot AD=\begin{vmatrix} 2 & 3 & 1 \\ -4 & 4 & -1 \\ 4 & 4 & -6 \end{vmatrix}=2\cdot (-1)^{1+1}\begin{vmatrix} 4 & -1 \\ 4 & -6 \end{vmatrix}+3\cdot(-1)^{1+2}\begin{vmatrix} -4 & -1 \\ 4 & -6 \end{vmatrix}+1\cdot(-1)^{1+3}\begin{vmatrix} -4 & 4 \\ 4 & 4 \end{vmatrix}=</math>
:<math>=2\cdot (-1)^2\cdot (4\cdot (-6)-(-1)\cdot 4)+3\cdot (-1)^3\cdot ((-4)\cdot (-6)-(-1)\cdot 4)+1\cdot(-1)^{4}\cdot ((-4)\cdot 4-4\cdot 4)=</math>
:<math>=2\cdot (-24+4)-3\cdot (24+4)+1\cdot (-16-16)=2\cdot (-20)-3\cdot 28-32=-40-84-32=-156.</math>
:Tada trikampės piramidės tūris
<math>V_{pir.}=\frac{1}{6}\cdot |-156|=\frac{156}{6}=26.</math>
:Norėdami rasti piramidės aukštinę ''h'', pritaikykime kitą piramidės tūrio formulę:
<math>V_{pir.}=\frac{1}{3}\cdot S_{\Delta ABC}\cdot h.</math>
:Bet <math>S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}\cdot \|AB\times AC\|,</math> todėl
:<math>V_{pir.}=\frac{1}{6}\cdot \|AB\times AC\|\cdot h.</math>
:Sulygindami šią formulę su ankstesne piramidės formule, gauname:
:<math>\frac{1}{6}|(AB\times AC)\cdot AD|=\frac{1}{6}\cdot \|AB\times AC\|\cdot h;</math>
:<math>h=\frac{|(AB\times AC)\cdot AD|}{\|AB\times AC\|}=\frac{156}{\sqrt{453}}=7.329519377,</math>
:kur <math>AB\times AC=\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 3 & 1 \\ -4 & 4 & -1\end{vmatrix}=\mathbf{i}\cdot(-1)^{1+1}\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 4 & -1 \end{vmatrix}+\mathbf{j}\cdot(-1)^{1+2}\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ -4 & -1 \end{vmatrix}+\mathbf{k}\cdot(-1)^{1+3}\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ -4 & 4 \end{vmatrix}=</math>
<math>=\mathbf{i}\cdot (3\cdot (-1)-1\cdot 4)-\mathbf{j}\cdot (2\cdot (-1)-1\cdot (-4))+\mathbf{k}\cdot(2\cdot 4- 3\cdot (-4))=\mathbf{i}\cdot(-3-4)-\mathbf{j}\cdot (-2+4)+\mathbf{k}\cdot(8+12)=-7\mathbf{i}-2\mathbf{j}+20\mathbf{k}=(-7; -2; 20);</math>
:<math>\|AB\times AC\|=\sqrt{(-7)^2+(-2)^2+20^2}=\sqrt{49+4+400}=\sqrt{453}=21.28379665.</math>
:Toliau įrodysime, kad piramidės tūris surastas teisingai. Rasime pusiaukampinę kampo tarp vektorių '''AB''' ir '''AC'''. Sudėję šių vektorių ortus gausime naują vektorių '''AG''', kurio koordinatės yra:
:<math>\vec{AG}=\frac{\vec{AB}}{\|\vec{AB}\|}+\frac{\vec{AC}}{\|\vec{AC}\|}=\frac{2i+3j + 1 k}{\sqrt{2^2+3^2+1^2}}+\frac{-4i+4j -1 k}{\sqrt{(-4)^2+4^2+(-1)^2}}= \frac{2i+3j + 1 k}{\sqrt{4+9+1}}+\frac{-4i+4j -1 k}{\sqrt{16+16+1}}=</math>
:<math>= \frac{2i+3j + 1 k}{\sqrt{14}}+\frac{-4i+4j -1 k}{\sqrt{33}}=\frac{2i}{\sqrt{14}}+\frac{-4i}{\sqrt{33}}+\frac{3j }{\sqrt{14}}+\frac{4j }{\sqrt{33}}+\frac{ k}{\sqrt{14}}+\frac{- k}{\sqrt{33}}=\frac{2\sqrt{33}-4\sqrt{14}}{\sqrt{14}\cdot\sqrt{33}}i+\frac{3\sqrt{33}+4\sqrt{14}}{\sqrt{14}\cdot\sqrt{33}}j+\frac{ \sqrt{33}-\sqrt{14}}{\sqrt{14}\cdot\sqrt{33}}k=</math>
:<math>=\frac{2\sqrt{33}-4\sqrt{14}}{\sqrt{462}}i+\frac{3\sqrt{33}+4\sqrt{14}}{\sqrt{462}}j+\frac{ \sqrt{33}-\sqrt{14}}{\sqrt{462}}k=-0.16178814i+1.49809435j+0.093183585k.</math>
:Rasime kampą tarp vektoriaus '''AG'''={-0.16178814; 1.49809435; 0.093183585} ir vektoriaus '''AB'''={2; 3; 1}. Taigi,
:<math>\cos\phi_1=\frac{-0.16178814\cdot 2+1.49809435\cdot 3+0.093183585\cdot 1}{\sqrt{(-0.16178814)^2+1.49809435^2+0.093183585^2}\cdot \sqrt{2^2+3^2+1^2}}=</math>
:<math>=\frac{-0.32357628+4.49428305+0.093183585}{\sqrt{0.026175402+2.244286682+0.00868318}\cdot \sqrt{4+9+1}}=\frac{4.263890355}{\sqrt{2.279145264}\cdot \sqrt{14}}=\frac{4.263890355}{\sqrt{31.9080337}}=\frac{4.263890355}{5.648719651}=0.754841914.</math>
:<math>\phi_1=\arccos(0.754841914)=0.715383259</math> radiano arba 40.98844149 laipsnio.
:Patikrinimui, rasime kampą tarp vektoriaus '''AC'''={-4; 4; -1} ir '''AB'''={2; 3; 1}, taigi
:<math>\cos\phi_2=\frac{(-4)\cdot 2+4\cdot 3+(-1)\cdot 1}{\sqrt{(-4)^2+4^2+(-1)^2}\cdot \sqrt{2^2+3^2+1^2}}=\frac{-8+12-1}{\sqrt{16+16+1}\cdot \sqrt{4+9+1}}=\frac{3}{\sqrt{33}\cdot \sqrt{14}}=\frac{3}{\sqrt{462}}=0.139572631.</math>
:<math>\phi_2=\arccos\frac{3}{\sqrt{462}}=1.430766518</math> radiano arba 81,97688296 laipsnio. Patikriname, kad <math>\phi_2=2\cdot \phi_1=2\cdot 40.98844149=81.97688298.</math>
:Surandame kampą tarp vektorių '''AG'''={-0.16178814; 1.49809435; 0.093183585} ir '''AD'''={4; 4; -6}, taigi:
:<math>\cos\phi_3=\frac{-0.16178814\cdot 4+1.49809435\cdot 4+0.093183585\cdot (-6)}{\sqrt{(-0.16178814)^2+1.49809435^2+0.093183585^2}\cdot \sqrt{4^2+4^2+(-6)^2}}=</math>
:<math>=\frac{-0.64715256+5.9923774-0.55910151}{\sqrt{0.026175402+2.244286682+0.00868318}\cdot \sqrt{16+16+36}}=\frac{4.78612333}{\sqrt{2.279145264}\cdot \sqrt{68}}=\frac{4.78612333}{\sqrt{154.981878}}=\frac{4.78612333}{12.44917178}=0.384453152.</math>
:<math>\phi_3=\arccos(0.384453152)=1.176180953</math> radiano arba 67.39020453 laipsnio.
:Piramidės aukštinės ''h'' (kuri nuleista iš taško ''D'' į piramidės pagrindą ''ABC'') ilgis yra tiesės ''AD'' ilgis padaugintas iš <math>\sin\phi_3,</math> todėl gauname:
<math>h=\|\vec{AD} \|\cdot \sin\phi_3=\sqrt{4^2+4^2+(-6)^2}\cdot \sin(1.176180953)=\sqrt{16+16+36}\cdot 0.923144503=\sqrt{68}\cdot 0.923144503=8.246211251\cdot 0.923144503=7.61244459.</math>
:Randame ''ABCD'' piramidės tūrį:
:<math>V=\frac{1}{3}\cdot h\cdot S_{\Delta ABC}=\frac{1}{3}\cdot h\cdot\frac{1}{2}\cdot \|\vec{AB}\times \vec{AC}\|=\frac{7.61244459}{6}\cdot \sqrt{453}=1.268740765\cdot 21.28379665=27.00362045.</math>
:Tašką į kurį nuleista aukštinė iš taško ''D'', pavadiname tašku ''E''. Randame projekcija vektoriaus '''AD'''={4; 4; -6} vektoriuje '''AG'''={-0.16178814; 1.49809435; 0.093183585}, tos projekcijos ilgis yra ''AE''. Gauname:
:<math>AE=pr_{\vec{AG}} \vec{AD}=\frac{\vec{AD}\cdot \vec{AG}}{\|\vec{AG}\|}=\frac{4\cdot (-0.16178814)+4\cdot 1.49809435+(-6)\cdot 0.093183585}{\sqrt{(-0.16178814)^2+1.49809435^2+0.093183585^2}}=</math>
:<math>=\frac{-0.64715256+5.9923774-0.55910151}{\sqrt{0.026175402+2.244286682+0.00868318}}=\frac{4.78612333}{\sqrt{2.279145264}}=\frac{4.78612333}{1.509683829}=3.170281908.</math>
:Iš Pitagoro teoremos randame aukštine h=DE, taigi:
:<math>DE=h=\sqrt{AD^2-AE^2}=\sqrt{(\sqrt{68})^2-3.170281908^2}=\sqrt{68-10.05068737}=\sqrt{57.94931263}=7.612444589.</math>
:Patikrinsime ar vektoriai '''AG'''={-0.16178814; 1.49809435; 0.093183585}, '''AB'''={2; 3; 1} ir '''AC'''={-4; 4; -1} komplanarūs (ar vektoriai guli toje pačioje plokštumoje):
:<math>(\vec{AG}\times\vec{AB})\cdot \vec{AC}=\begin{vmatrix} -0.16178814 & 1.49809435 & 0.093183585 \\ 2 & 3 & 1 \\ -4 & 4 & -1 \end{vmatrix}=</math>
:<math>=-0.16178814\cdot (-1)^{1+1}\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 4 & -1 \end{vmatrix}+1.49809435\cdot(-1)^{1+2}\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ -4 & -1 \end{vmatrix}+ 0.093183585\cdot(-1)^{1+3}\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ -4 & 4 \end{vmatrix}=</math>
:<math>=-0.16178814\cdot (-3-4)-1.49809435\cdot(-2-(-4))+0.093183585\cdot (8-(-12))=</math>
:<math>=-0.16178814\cdot (-7)-1.49809435\cdot 2+0.093183585\cdot 20=1.13251698-2.9961887+1.8636717=-0.00000002.</math>
:Mišrios vektorių sandaugos rezultatas yra 0, todėl vektoriai '''AG''', '''AB''' ir '''AC''' priklauso tai pačiai plokštumai.
| |||