Matematika/Paviršių liečianti plokštuma: Skirtumas tarp puslapio versijų

:<math>x=a\cos (u) \sin (v), \quad y=a\sin (u) \sin (v), \quad z=a\cos (v);</math>
:liečiamosios plokštumos formulė:
:<math>xx_0\cos (u) \sin (v)+yy_0\cos (u) \sin (v)+zz_0\cos (v)=a;</math>
:normalės formulė:
:<math>\frac{xx_0}{\cos u\sin v}+\frac{yy_0}{\sin u\sin v}=\frac{zz_0}{\cos v}.</math>
:''Sprendimas''. Kadangi perėjome į sferines koordinates, tai reikia rasti kampą ''u'' ir kampą ''v''. Kampas ''u'' yra sukimas ant ''xOy'' plokštumos (prieš laikrodžio rodykle), o kampas ''v'' yra sukamas nuo viršaus į apačia ant ''zOx'' plokštumos arba ant ''zOy'' plokštumos. Randame:
:<math>\cos u=\frac{x_0}{\sqrt{x_0^2+y_0^2}}=\frac{1}{\sqrt{1^2+2^2}}=\frac{1}{\sqrt{5}}=0.447213595;</math>
:<math>\sin u=\frac{y_0}{\sqrt{x_0^2+y_0^2}}=\frac{2}{\sqrt{1^2+2^2}}=\frac{2}{\sqrt{5}}=0.894427191.</math>
:Žinoma, <math>\cos^2 u+\sin^2 u=\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^2+\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^2=\frac{1}{5}+\frac{4}{5}=1.</math>
:Žinome, kad bet kokia tiesė einanti per tašką ''O''(0; 0; 0) ir bet kuri kitą sferos tašką ''M'' yra sferos liečiamoisios plokštumos normalė. Todėl vektorius <math>\vec{pOP}=\vec{n}=\{1; 2; 3\}.</math> Tokiu budu galėtume ir surasti liečiamosios plokštumos lygtį. Bet surasime liečiamosios plokšutmos ir normalės lygtis pasinaudodami uždavinio sąlygoje pateiktomis formulėmis.
:Tiesės atkarpos ''OP'' projekcijos ilgis plokštumoje ''xOy'' yra lygus:
:<math>S=\sqrt{x_0^2+y_0^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}=2.236067978;</math>
:tuomet:
:<math>xx_0=S \cdot\cos (u)=\sqrt{5}\cos u=\sqrt{5}\cdot \frac{1}{\sqrt{5}}=1; </math>
:<math>yy_0=S\cdot \sin (u)=\sqrt{5}\sin u=\sqrt{5}\cdot \frac{2}{\sqrt{5}}=2. </math>
:Dabar galime rasti kam lygus kampas ''u''. Taigi, randame:
:<math>\cos u=\frac{1}{\sqrt{5}}=0.447213595,</math>
:<math>\sin u=\frac{2}{\sqrt{5}},</math>
:<math>u=\arcsin \frac{2}{\sqrt{5}}=1.107148718</math> radiano arba <math>u=63.43494882^{\circ}.</math>
:Toliau ieškome kampo ''v'', taigi:
:<math>\cos v=\frac{S}{\|\vec{OP}\|=\frac{\sqrt{1^2+2^2}}{\sqrt{1^2+2^2+3^2}}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{14}}=0.597614304;</math>
:<math>z_0=</math>
 
==Nuorodos==
5 067

pakeitimai