Matematika/Furje eilutės: Skirtumas tarp puslapio versijų

Ištrintas turinys Pridėtas turinys
194 eilutė:
:Funkcija <math>|x|</math> tenkina sąlygas ''teoremos 2'' ir gauta lygybė teisinga bet kokiam <math>x\in[-l; l],</math> o tai reiškia, kad eilutė konverguoja visoje skaičių tiesėje ir jos suma yra funkcija, grafikas kurios parodytas pav. 2.
:Pažymėsime, kad Furjė eilutės plačiai taikomos tiek teoriniuose tyrimuose, tiek ir praktiniuose uždaviniuose.
 
 
*Išdelioti į Furjė eilutę su periodu <math>2l\;</math> funkciją <math>f(x),\;</math> kuri atkarpoje <math>[-l; \; l]</math> užrašoma formule <math>f(x)=x^2.\;</math>
:''Sprendimas''. Įvedame keitinį <math>x=\frac{\xi l}{\pi}; \; \xi=\frac{\pi x}{l}; \; \text{d}\xi=\frac{\pi}{l}\text{d}x.</math> Kadangi funkcija <math>f(x)=x^2\;</math> lyginė, tai
:<math>b_n=0;</math>
:<math>a_0=\frac{2}{l}\int_0^l x\text{d}x=\frac{2}{l}\cdot \frac{x^2}{2}|_0^l=\frac{2}{l}\cdot \frac{l^2}{2}=l;</math>
:<math>a_n=\frac{2}{l}\int_0^l x\cos\frac{n\pi x}{l}\text{d}x=\frac{2}{l}\left(\frac{l\cdot x\sin\frac{n\pi x}{l}}{n\pi}|_0^l-\frac{l}{n\pi}\int_0^l\sin\frac{n\pi x}{l}\text{d}x \right)=</math>
:<math>=\frac{2}{l}\left(\frac{l^2\sin\frac{n\pi l}{l}}{n\pi}+\frac{l}{n^2\pi^2}\cos\frac{n\pi x}{l}|_0^l \right)=\frac{2}{l}\left(\frac{l^2\sin(n\pi)}{n\pi}+\frac{l}{n^2\pi^2}(\cos\frac{n\pi l}{l}-\cos\frac{n\pi \cdot 0}{l}) \right)=</math>
:<math>=\frac{2}{l}\cdot \frac{l}{n^2\pi^2}(\cos(n\pi)-1) =\frac{2}{n^2\pi^2}(\cos(n\pi)-1)=\frac{2}{n^2\pi^2}((-1)^n-1)=\begin{cases}
0, \quad \text{kai} \; n \; \text{lyginis}, & \\
-\frac{4l}{n^2\pi^2}, \quad \text{kai} \; n \; \text{nelyginis}. &
\end{cases}</math>
:Furjė eilutė funkcijos <math>f(x)\;</math> yra tokia
:<math>|x|=\frac{l}{2}-\frac{4l}{\pi^2}(\cos\frac{\pi x}{l}+\frac{1}{3^2}\cos\frac{3\pi x}{l}+\frac{1}{5^2}\cos\frac{5\pi x}{l}+...).</math>
 
==Nuorodos==