Matematika/Lanko ilgis: Skirtumas tarp puslapio versijų
Ištrintas turinys Pridėtas turinys
Nėra keitimo santraukos |
|||
1 eilutė:
:Tegu lankas kreivės <math>M_0 M</math> (136 pav.) yra grafikas funkcijos <math>y=f(x) \;</math>, apibrėžtas intervale ''(a, b)''. Nustatysime kreivės lanko ilgį. Paimsime ant kreivės ''AB'' taškus <math>M_0</math>, <math>M_1</math>, <math>M_2</math>, ..., <math>M_{i-1}</math>, <math>M_i</math>, ..., <math>M_{n-1}</math>, <math>M</math>. Sujungę paimtus taškus, gausime laužtą liniją <math>M_0 M_1 M_2...M_{i-1} M_i ...M_{n-1} M,</math> įbrėžtą į lanką <math>M_0 M</math>. Pažymėsime ilgį šitos laužtės per <math>P_n</math>.
:''Lanko ilgiu'' <math>M_0 M</math> vadinasi riba (pažymėsime ją per ''s''), prie kurios artėja lanko ilgis, artėjant prie nulio lanko atkarpų ilgiams <math>M_{i-1} M_i</math>, jeigu šita riba egzistuoja ir nepriklauso nuo parinktų lanko taškų <math>M_0 M_1 M_2...M_{i-1} M_i ...M_{n-1} M.</math>
:Pažymėsime, kad šitas apibrėžimas lanko ilgio betkokios kreivės analoginis apibrėžimui apskritimo ilgio.
:Yra įrodyta, kad jeigu atkarpoje [''a'', ''b''] funkcija <math>f(x) \;</math> ir jos išvestinė <math>f'(x) \;</math> netrūkios, tai lankas kreivės <math>y=f(x),\;</math> esantis tarp taškų <math>[a; \; f(a)]</math> ir <math>[b; \; f(b)],</math> turi tam tikrą ilgį, be to yra būdas apskaičiavimo šito ilgio. Yra nustatyta (kaip pasekmė), kad nurodytose sąlygose santykis ilgio betkokio lanko šitos kreivės su ilgiu susitraukiančios stygos artėja prie 1, kai ilgis stygos artėja prie 0:
:<math>\lim_{M_0 M\to 0}\frac{ilg. \;\breve{M_0 M}}{ilg. \; \overline{M_0 M}}=1.</math>
[[Vaizdas:kreivispav137.jpg|thumb|137 pav.]]
:Šita teorema lengvai gali būti įrodyta apskritimui (panagrinėkime lanką ''AB'', kurio centrinis kampas lygus <math>2\alpha</math> (137 pav); ilgis šito lanko lygus <math>2R\alpha</math>, o ilgis susitraukiančios jo stygos lygus <math>2R\sin\alpha</math>; todėl <math>\lim_{\alpha\to 0}\frac{\breve{AB}}{\overline{AB}}=\lim_{\alpha\to 0}\frac{2R\alpha}{2R\sin\alpha}=1</math>), bet bendru atveju mes kol kas priimsime ją be įrodymo.
:Panagrinėkime sekantį klausimą. Tegu mes turime ant plokšumos kreivę, kurios lygtis
:<math>y=f(x). \;</math>
| |||