Matematika/Lanko ilgis: Skirtumas tarp puslapio versijų

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*[[Matematika/Kreiviniai integralai|Kreivės lanko ilgis]]
 
 
*Rasti hiperbolės <math>y=\sqrt{2x}</math> lanko ilgį ''L'', kai ''x'' kinta nuo 1 iki 7.
:''Sprendimas''.
:<math>\frac{dy}{dx}=(\sqrt{2x})'=\frac{1}{2}\cdot\frac{(2x)'}{\sqrt{2x}}=\frac{1}{\sqrt{2x}};</math>
:<math>L=\int_a^b \sqrt{1+(y')^2}dx=\int_1^7 \sqrt{1+\left(\frac{1}{\sqrt{2x}} \right)^2}dx=\int_1^7 \sqrt{1+\frac{1}{2x}}dx=</math>
:<math>=\left[x\sqrt{\frac{1}{2x}+1}+\frac{1}{4}\ln\left(2\sqrt{2}x\sqrt{\frac{1}{x}+2} +4x+2 \right) \right]|_1^7=</math>
:<math>=\left[x\sqrt{\frac{1}{2x}+1}+\frac{1}{4}\ln\left(4x\sqrt{\frac{1}{2x}+1} +4x+2 \right) \right]|_1^7=</math>
:<math>=\left[7\sqrt{\frac{1}{2\cdot 7}+1}+\frac{1}{4}\ln\left(4\cdot 7\cdot \sqrt{\frac{1}{2\cdot 7}+1} +4\cdot 7+2 \right) \right]-\left[ \sqrt{\frac{1}{2}+1}+\frac{1}{4}\ln\left(4 \sqrt{\frac{1}{2}+1} +4+2 \right) \right]=</math>
:<math>=\left[7\sqrt{\frac{1}{14}+1}+\frac{1}{4}\ln\left(28\cdot \sqrt{\frac{1}{14}+1} +28+2 \right) \right]-\left[ \sqrt{1.5}+\frac{1}{4}\ln(4 \sqrt{1.5} +6 ) \right]=</math>
:<math>=\left[7\sqrt{\frac{15}{14}}+\frac{1}{4}\ln\left(28\cdot \sqrt{\frac{15}{14}} +30 \right) \right]-\left[ 1.224744871+\frac{1}{4}\ln(4.898979486 +6 ) \right]=</math>
:<math>=7\sqrt{1.071428571}+\frac{1}{4}\ln\left(28\cdot \sqrt{1.071428571} +30 \right)-\left[ 1.224744871+\frac{3.301360248}{4} \right]=</math>
:<math>=7\cdot 1.035098339+\frac{1}{4}\ln(28\cdot 1.035098339 +30)-\left[ 1.224744871+\frac{3.301360248}{4} \right]=</math>
:<math>=7.245688373+\frac{\ln(28.98275349 +30)}{4}-[ 1.224744871+0.825340062 ]=</math>
:<math>=7.245688373+\frac{4.077245087}{4}-2.050084933=</math>
:<math>=7.245688373+1.019311272-2.050084933=6.214914712.</math>
:Pasinaudojome internetiniu integratoriumi http://integrals.wolfram.com/index.jsp?expr=Sqrt%5B1%2B+1%2F%282x%29%5D+&random=false.
:Patikriname ar tiesės ilgis iš taško <math>M_1(1; \sqrt{2})</math> iki taško <math>M_2(7; \sqrt{14})</math> nėra didesnis:
:<math>L_T=\sqrt{(7-1)^2+(\sqrt{14}-\sqrt{2})^2}=\sqrt{6^2+(3.741657387-1.414213562)^2}=\sqrt{36+2.327443824^2}=\sqrt{36+5.416994756}=</math>
:<math>=\sqrt{41.41699476}=6.435603682.</math>
 
==ds ilgis polinėse koordinatėse==