Matematika/Lanko ilgis: Skirtumas tarp puslapio versijų
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58 eilutė:
:<math>L_T=\sqrt{(7-1)^2+(\sqrt{14}-\sqrt{2})^2}=\sqrt{6^2+(3.741657387-1.414213562)^2}=\sqrt{36+2.327443824^2}=</math>
:<math>=\sqrt{36+5.416994756}=\sqrt{41.41699476}=6.435603682.</math>
*Rasti lanko ilgį iš taško <math>M_0(0; \; \frac{5}{2})</math> iki taško <math>M_1(-20; \; 27.5)</math> parabolės
:<math>y=\frac{x^2}{16}+\frac{5}{2}.</math>
:''Sprendimas''.
:Rasime parabolės lanko ilgį iš taško <math>M_0(0; \; \frac{5}{2})</math> iki taško <math>M_1(-20; \; 27.5):</math>
:<math>\frac{dy}{dx}=(\frac{x^2}{16}+\frac{5}{2})'=\frac{2x}{16}=\frac{x}{8};</math>
:<math>L=\int_a^b \sqrt{1+(y')^2}d\alpha=\int_{-20}^0 \sqrt{1+\left(\frac{x}{8}\right)^2}d\alpha=\int_{-20}^0 \sqrt{1+\frac{x^2}{64}}d\alpha=\int_{-20}^0 \frac{1}{8}\sqrt{64+x^2}d\alpha=</math>
:<math>=\frac{1}{8}\left( \frac{x}{2} \sqrt{64 + x^2} + \frac{64}{2} \ln \left| x + \sqrt{x^2 + 64} \right| \right) |_{-20}^0 =</math>
:<math>= \frac{1}{8}\left[ \frac{0}{2} \sqrt{64 + 0^2} + \frac{64}{2} \ln \left| 0 + \sqrt{0^2 + 64} \right| \right] - \frac{1}{8}\left[ \frac{-20}{2} \sqrt{64 + (-20)^2} + \frac{64}{2} \ln \left| -20 + \sqrt{(-20)^2 + 64} \right| \right]=</math>
:<math>= \frac{1}{8}\left[32 \ln \left| \sqrt{ 64} \right| \right] - \frac{1}{8}\left[ -10 \sqrt{464} + 32 \ln \left| -20 + \sqrt{464} \right| \right]=</math>
:<math>= \frac{32}{8} \ln \left| 8 \right| - \frac{1}{8}[ -215.4065923 + 32 \ln \left| -20 + 21.54065923 \right| ]=</math>
:<math>= 4 \ln | 8 | - \frac{1}{8}[ -215.4065923 + 32 \ln | 1.540659229 | ]=</math>
:<math>= 4 \ln | 8 | - \frac{1}{8}[ -215.4065923 + 32 \cdot 0.432210395 ]=</math>
:<math>= 4 \cdot 2.079441542 - \frac{1}{8}[ -215.4065923 + 13.83073265 ]=</math>
:<math>= 8.317766167 + \frac{201.5758597}{8}= 8.317766167 + 25.19698246=33.51474862.</math>
:Pasinaudojome integralų lentele <math> \int \sqrt{x^2 \pm a^2} \; \mathsf{d}x = \frac{x}{2} \sqrt{a^2 \pm x^2} \pm \frac{a^2}{2} \ln \left| x + \sqrt{x^2 \pm a^2} \right| + C .</math>
==ds ilgis polinėse koordinatėse==
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