Matematika/Antrosios eilės tiesinės homogeninės diferencialinės lygtys su pastoviaisiais koeficientais: Skirtumas tarp puslapio versijų
Ištrintas turinys Pridėtas turinys
151 eilutė:
:Be abejonės gausime abiejose lygties <math>y''+py'+qy=0</math> pusėse nulius įstačius <math>y=C_1 e^{k_1 x}=C_1 e^{(\alpha+i\beta)x},</math> nes tai tas pats kas padauginti visą lygtį iš konstantos. Taipogi gausime, kad reiškinys <math>y''+py'+qy</math> lygus nuliui, jei įstatysime <math>y=C_2 e^{k_2 x}=C_2 e^{(\alpha-i\beta)x}.</math>
:Nesunku suprasti, kad į reiškinį <math>y''+py'+qy</math> įstačius <math>y=e^{k_1 x}+ e^{k_2 x}= e^{(\alpha+i\beta)x}+e^{(\alpha-i\beta)x}</math> gausime nulį (0+0=0), nes <math>(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x). \;</math> Dėl to taip pat gausime nulį įstačius <math>y=C_1 e^{(\alpha+i\beta)x}+C_2 e^{(\alpha-i\beta)x}</math> į reiškinį <math>y''+py'+qy.</math>
:Kad atsikratyti ''i'' užrašykime
:<math>y_{10}= C_1 e^{\alpha x+i\beta x} +C_2 e^{\alpha x-i\beta x}=e^{\alpha x}(e^{i\beta x}+e^{-i\beta x}). \;</math>
:Toliau iš trigonometrijos ir kompleksinių skaičių žinome, kad <math>\cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}</math> ir <math>\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}.</math> Todėl parenkame <math>C_1=\frac{1}{2}</math> ir <math>C_2=\frac{1}{2}</math> ir gauname:
:<math>y_{11}= \frac{1}{2} e^{\alpha x+i\beta x} +\frac{1}{2} e^{\alpha x-i\beta x}=e^{\alpha x}\frac{e^{i\beta x}+e^{-i\beta x}}{2}=e^{\alpha x} \cos(\beta x).</math>
:Toliau parinkime <math>C_1=\frac{1}{2i}</math> ir <math>C_2=-\frac{1}{2i}</math> (šįkart panaudojame kompleksinius skaičius konstantose, kad atsikratyti kompleksinių skaičių galutiniame sprendinyje) ir užrašykime:
:<math>y_{12}= \frac{1}{2i} e^{\alpha x+i\beta x} -\frac{1}{2i} e^{\alpha x-i\beta x}=e^{\alpha x}\frac{e^{i\beta x}-e^{-i\beta x}}{2i}=e^{\alpha x} \sin(\beta x).</math>
| |||