Matematika/Antrosios eilės tiesinės homogeninės diferencialinės lygtys su pastoviaisiais koeficientais: Skirtumas tarp puslapio versijų
Ištrintas turinys Pridėtas turinys
157 eilutė:
:Toliau parinkime <math>C_1=\frac{1}{2i}</math> ir <math>C_2=-\frac{1}{2i}</math> (šįkart panaudojame kompleksinius skaičius konstantose, kad atsikratyti kompleksinių skaičių galutiniame sprendinyje) ir užrašykime:
:<math>y_{12}= \frac{1}{2i} e^{\alpha x+i\beta x} -\frac{1}{2i} e^{\alpha x-i\beta x}=e^{\alpha x}\frac{e^{i\beta x}-e^{-i\beta x}}{2i}=e^{\alpha x} \sin(\beta x).</math>
:Vėl žinome, kad jeigu sprendinys <math>y_{11}=e^{\alpha x} \cos(\beta x)</math> tenkina lygtį <math>y''+py'+qy=0</math> ir jeigu sprendinys <math>y_{12}=e^{\alpha x} \sin(\beta x)</math> tenkina lygtį <math>y''+py'+qy=0</math>, tai ir jų suma <math>y_{20}=y_{11}+y_{12}=e^{\alpha x} \cos(\beta x)+e^{\alpha x} \sin(\beta x)</math> turi tenkinti lygtį <math>y''+py'+qy=0,</math> nes <math>(y_{11}+y_{12})'=y_{11}'+y_{
:<math>y=C_1 e^{\alpha x} \cos(\beta x)+C_2 e^{\alpha x} \sin(\beta x)=e^{\alpha x}(C_1\cos(\beta x)+C_2 \sin(\beta x)).</math>
| |||