Matematika/Antrosios eilės tiesinės homogeninės diferencialinės lygtys su pastoviaisiais koeficientais: Skirtumas tarp puslapio versijų
Ištrintas turinys Pridėtas turinys
159 eilutė:
:Vėl žinome, kad jeigu sprendinys <math>y_{11}=e^{\alpha x} \cos(\beta x)</math> tenkina lygtį <math>y''+py'+qy=0</math> ir jeigu sprendinys <math>y_{12}=e^{\alpha x} \sin(\beta x)</math> tenkina lygtį <math>y''+py'+qy=0</math>, tai ir jų suma <math>y_{20}=y_{11}+y_{12}=e^{\alpha x} \cos(\beta x)+e^{\alpha x} \sin(\beta x)</math> turi tenkinti lygtį <math>y''+py'+qy=0,</math> nes <math>(y_{11}+y_{12})'=y_{11}'+y_{12}'.</math> Be to, jei prirašysime konstantas tai sprendinys <math>y_{21}=C_1 y_{11}+C_2 y_{12}</math> taip pat tenkins lygtį, pagal anksčiau minėta logiką. Todėl galime užrašyti galutinį bendrąjį lygties <math>y''+py'+qy=0</math> sprendinį (be kompleksinių skaičių):
:<math>y=C_1 e^{\alpha x} \cos(\beta x)+C_2 e^{\alpha x} \sin(\beta x)=e^{\alpha x}(C_1\cos(\beta x)+C_2 \sin(\beta x)). \;</math>
===Pavyzdžiai===
*Išspręskime lygtį
:<math>y''-8y'+25y=0.</math>
:''Sprendimas''. Charakteringoji lygtis <math>k^2-8k+25=0</math> turi dvi kompleksines šaknis: <math>k_{1, 2}=4\pm 3i.</math> Taigi <math>\alpha=4, \; \beta =3.</math> Todėl remiantis formule <math>y=e^{\alpha x}(C_1\cos(\beta x)+C_2 \sin(\beta x)),</math> bendrasis duotosios lygties sprendinys yra
:<math>y=e^{4x}(C_1 \cos(3x)+C_2\sin(3x)).</math>
| |||