Wikibooks

Matematika/Antrosios eilės tiesinės nehomogeninės diferencialinės lygtys: Skirtumas tarp puslapio versijų

Naršyti istoriją interaktyviai
← Ankstesnis keitimasVėlesnis pakeitimas →
Ištrintas turinys Pridėtas turinys
VizualusVikitekstas
185 eilutė:
 
 
**Išspręskime lygtį
:<math>y''-+4y'+13y=f(x), e^{-2x}.</math>
:kai:''Sprendimas''. a)Kadangi charakteringoji lygtis <math>f(x)k^2+4k+13=x0</math> e^turi šaknis <math>k_{-2x1, 2};=-2\pm 3i,</math> b)tai homogeninės lygties <math>f(x)y''+4y'+13y=0</math> bendrasis sprendinys <math>\bar{y}=e^{-2x} (C_1\cos(3x)+C_2\sin(3x)). </math>
:''Sprendimas''.Kai Kadangi charakteringoji lygtis <math>k^2+4k+13f(x)=0</math>x turi šaknis <math>k_e^{1-2x}, 2}=-2\pm 3i,</math> tai homogeninėsdešinioji lygties <math>y''-4y'+13y=0</math>pusė bendrasisturi sprendinysišraišką <math>\bar{y}=P_n(x) e^{-2x\alpha x}(C_1\cos(3x)+C_2\sin(3x)).</math>
:'''a)''' Kai <math>f(x)=x e^{-2x}, </math> tai dešinioji lygties pusė turi išraišką <math>P_n(x) e^{\alpha x}.</math>
:Kadangi šį kartą <math>P_n(x)=x</math> yra pirmojo laipsnio daugianaris, o <math>\alpha=-2</math> nesutampa su charakteringosios lygties šaknimi (nesvarbu, kad <math>\alpha=-2</math> sutampa su šaknų <math>-2\pm 3i</math> realiąja dalimi), tai sprendinio <math>\tilde{y}</math> išraišką nusako (50) formulė. Taigi
:<math>\tilde{y}=(ax+b)e^{-2x}.</math>
eilutė 196 ⟶ 195:
:<math>\tilde{y}''=-2a e^{-2x} -2(-2ax+a-b)e^{-2x} =-2a e^{-2x} +(4ax-2a+2b)e^{-2x}=2(2ax-a+b)e^{-2x}.</math>
:Įrašę <math>\tilde{y}, \; \tilde{y}', \; \tilde{y}''</math> išraiškas į duotąją lygtį gauname tapatybę:
:<math>\tilde{y}''-+4\tilde{y}'+13\tilde{y}=x e^{-2x},</math>
:<math>2(2ax-a+b)e^{-2x}-+4(-2ax+a-b)e^{-2x}+13(ax+b)e^{-2x}=x e^{-2x},</math>
:<math>4ax-2a+2b+8ax-4a8ax+4a-4b+13ax+13b=x ,</math>
:<math>25ax-6a9ax+19b2a+11b=x .</math>
:Sulyginę koeficientus prie vienodų ''x'' laipsnių, gauname sistemą
:<math>x^1\quad | \; 25a9a=1, </math>
:<math>x^0\quad | \; -6a2a+19b11b=0.</math>
:Iš sistemos randame: <math>a=\frac{1}{259}=0.04(1), \; b=\frac{6a2a}{1911}=\frac{62}{259\cdot 1911}=\frac{62}{47599}=0.012631579(02).</math> Todėl <math>\tilde{y}=\left(\frac{x}{259}+\frac{62}{47599}\right)e^{-2x}.</math> Bendrasis duotosios lygties sprendinys yra
:<math>y=\bar{y}+\tilde{y}=e^{-2x}(C_1\cos(3x)+C_2\sin(3x))+\left(\frac{x}{259}+\frac{62}{47599}\right)e^{-2x}.</math>
:Patikriname:
:<math>\tilde{y}'=\left(\left(\frac{x}{25}+\frac{6}{475}\right)e^{-2x}\right)'=\frac{1}{25}e^{-2x}-2\left(\frac{x}{25}+\frac{6}{475}\right)e^{-2x},</math>
:<math>=\left(-\frac{2}{25}x+\frac{1}{25}-\frac{12}{475}\right)e^{-2x}=\left(-\frac{2}{25}x+\frac{19-12}{475}\right)e^{-2x}=\left(-\frac{2}{25}x+\frac{7}{475}\right)e^{-2x},</math>
:<math>\tilde{y}''=-\frac{2}{25}e^{-2x}-2\left(-\frac{2}{25}x+\frac{7}{475}\right)e^{-2x}=\left(\frac{4}{25}x-\frac{14}{475}-\frac{2}{25}\right)e^{-2x}=</math>
:<math>=\left(\frac{4}{25}x-\frac{14+36}{475}\right)e^{-2x}=\left(\frac{4}{25}x-\frac{50}{475}\right)e^{-2x};</math>
:<math>\tilde{y}''-4\tilde{y}'+13\tilde{y}=x e^{-2x},</math>
:<math>\left(\frac{4}{25}x-\frac{50}{475}\right)e^{-2x}-4\left(-\frac{2}{25}x+\frac{7}{475}\right)e^{-2x}+13\left(\frac{x}{25}+\frac{6}{475}\right)e^{-2x}=x e^{-2x},</math>
:<math>\frac{4}{25}x-\frac{50}{475}+\frac{8}{25}x-\frac{28}{475}+\frac{13}{25}x+\frac{78}{475}=x ,</math>
:<math>\frac{4+8+13}{25}x+\frac{78-50-28}{475}=x,</math>
:<math>\frac{25}{25}x+\frac{0}{475}=x,</math>
:<math>x=x.</math>
:'''b)''' Kai <math>f(x)=e^{-2x}\sin(3x),</math> tai dešinioji lygties pusė turi išraišką, apibrėžiamą formule <math>f(x)=R_m(x) e^{\alpha x} \cos(\beta x).</math> Šį kartą <math>\alpha=-2, \; \beta =3</math> ir dydis <math>\alpha+\beta i=-2+3i</math> sutampa su charakteringosios lygties šaknimi, todėl atskirojo sprendinio <math>\tilde{y}</math> išraišką nusako (55) formulė. Taigi
:<math>\tilde{y}=xe^{-2x}(M\cos(3x)+N\sin(3x)).</math>
eilutė 236 ⟶ 224:
 
 
*Išspręskime lygtį
:<math>y''+-4y'+13y=f(x e^{-2x}.),</math>
:kai: a) <math>f(x)=x e^{-2x}; </math> b) <math>f(x)= e^{-2x} \sin(3x). </math>
:''Sprendimas''. Kadangi charakteringoji lygtis <math>k^2+4k+13=0</math> turi šaknis <math>k_{1, 2}=-2\pm 3i,</math> tai homogeninės lygties <math>y''+-4y'+13y=0</math> bendrasis sprendinys <math>\bar{y}=e^{-2x}(C_1\cos(3x)+C_2\sin(3x)).</math>
:'''a)''' Kai <math>f(x)=x e^{-2x}, </math> tai dešinioji lygties pusė turi išraišką <math>P_n(x) e^{\alpha x}.</math>
:Kadangi šį kartą <math>P_n(x)=x</math> yra pirmojo laipsnio daugianaris, o <math>\alpha=-2</math> nesutampa su charakteringosios lygties šaknimi (nesvarbu, kad <math>\alpha=-2</math> sutampa su šaknų <math>-2\pm 3i</math> realiąja dalimi), tai sprendinio <math>\tilde{y}</math> išraišką nusako (50) formulė. Taigi
:<math>\tilde{y}=(ax+b)e^{-2x}.</math>
eilutė 246 ⟶ 235:
:<math>\tilde{y}''=-2a e^{-2x} -2(-2ax+a-b)e^{-2x} =-2a e^{-2x} +(4ax-2a+2b)e^{-2x}=2(2ax-a+b)e^{-2x}.</math>
:Įrašę <math>\tilde{y}, \; \tilde{y}', \; \tilde{y}''</math> išraiškas į duotąją lygtį gauname tapatybę:
:<math>\tilde{y}''+-4\tilde{y}'+13\tilde{y}=x e^{-2x},</math>
:<math>2(2ax-a+b)e^{-2x}+-4(-2ax+a-b)e^{-2x}+13(ax+b)e^{-2x}=x e^{-2x},</math>
:<math>4ax-2a+2b-8ax+4a8ax-4a+4b+13ax+13b=x ,</math>
:<math>9ax25ax-6a+2a+11b19b=x .</math>
:Sulyginę koeficientus prie vienodų ''x'' laipsnių, gauname sistemą
:<math>x^1\quad | \; 9a25a=1, </math>
:<math>x^0\quad | \; 2a-6a+11b19b=0.</math>
:Iš sistemos randame: <math>a=\frac{1}{925}=0.(1)04, \; b=\frac{2a6a}{1119}=\frac{26}{925\cdot 1119}=\frac{26}{99475}=0.(02)012631579.</math> Todėl <math>\tilde{y}=\left(\frac{x}{25}+\frac{6}{475}\right)e^{-2x}.</math> Bendrasis duotosios lygties sprendinys yra
:<math>y=\bar{y}+\tilde{y}=e^{-2x}(C_1\cos(3x)+C_2\sin(3x))+\left(\frac{x}{25}+\frac{6}{475}\right)e^{-2x}.</math>
:Patikriname:
Gauta iš „https://lt.wikibooks.org/wiki/Matematika/Antrosios_eilės_tiesinės_nehomogeninės_diferencialinės_lygtys“