Matematika/Antrosios eilės tiesinės nehomogeninės diferencialinės lygtys: Skirtumas tarp puslapio versijų

 
 
**Išspręskime lygtį
:<math>y''+4y'+13y=x e^{-2x}.</math>
:''Sprendimas''. Kadangi charakteringoji lygtis <math>k^2+4k+13=0</math> turi šaknis <math>k_{1, 2}=-2\pm 3i,</math> tai homogeninės lygties <math>y''+4y'+13y=0</math> bendrasis sprendinys <math>\bar{y}=e^{-2x}(C_1\cos(3x)+C_2\sin(3x)).</math>
:<math>x^1\quad | \; 9a=1, </math>
:<math>x^0\quad | \; 2a+11b=0.</math>
:Iš sistemos randame: <math>a=\frac{1}{9}=0.(1), \; b=\frac{2a}{11}=\frac{2}{9\cdot 11}=\frac{2}{99}=0.(02).</math> Todėl <math>\tilde{y}=\left(\frac{x1}{9}x+\frac{2}{99}\right)e^{-2x}.</math> Bendrasis duotosios lygties sprendinys yra
:<math>y=\bar{y}+\tilde{y}=e^{-2x}(C_1\cos(3x)+C_2\sin(3x))+\left(\frac{x1}{9}x+\frac{2}{99}\right)e^{-2x}.</math>
:'''b)''' Kai <math>f(x)=e^{-2x}\sin(3x),</math> tai dešinioji lygties pusė turi išraišką, apibrėžiamą formule <math>f(x)=R_m(x) e^{\alpha x} \cos(\beta x).</math> Šį kartą <math>\alpha=-2, \; \beta =3</math> ir dydis <math>\alpha+\beta i=-2+3i</math> sutampa su charakteringosios lygties šaknimi, todėl atskirojo sprendinio <math>\tilde{y}</math> išraišką nusako (55) formulė. Taigi
:<math>\tilde{y}=xe^{-2x}(M\cos(3x)+N\sin(3x)).</math>
 
 
*Išspręskime lygtį
:<math>y''-4y'+13y=f(x),</math>
:kai: a) <math>f(x)=x e^{-2x}; </math> b) <math>f(x)= e^{-2x} \sin(3x). </math>
5 067

pakeitimai