Matematika/Antrosios eilės tiesinės nehomogeninės diferencialinės lygtys: Skirtumas tarp puslapio versijų

*Išspręskime lygtį
:<math>y''-4y'+13y=x e^{-2x}.</math>
:''Sprendimas''. KadangiKad charakteringoji lygtis <math>k^2+4k+13=0</math> turi [http://www.1728.org/quadratc.htm šaknis] <math>k_{1, 2}=2\pm 3i,</math> tairasti homogeninės lygties <math>y''-4y'+13y=0</math> bendrasissprendinį, į homogeninę lygtį sprendinysįstatome <math>\bar{y}=e^{2xkx}(C_1\cos(3x)+C_2\sin(3x)).</math> ir gauname:
:<math>(e^{kx})''-4(e^{kx})'+13e^{kx}=0,</math>
:<math>k^2 e^{kx}-4k e^{kx}+13 e^{kx}=0,</math>
:<math>k^2 -4k +13 =0.</math>
:Kadangi charakteringoji lygtis <math>k^2-4k+13=0</math> turi [http://www.1728.org/quadratc.htm šaknis] <math>k_{1, 2}=2\pm 3i,</math> tai homogeninės lygties <math>y''-4y'+13y=0</math> bendrasis sprendinys <math>\bar{y}=e^{2x}(C_1\cos(3x)+C_2\sin(3x)).</math>
:Kai <math>f(x)=x e^{-2x}, </math> tai dešinioji lygties pusė turi išraišką <math>P_n(x) e^{\alpha x}.</math>
:Kadangi šį kartą <math>P_n(x)=x</math> yra pirmojo laipsnio daugianaris, o <math>\alpha=-2</math> nesutampa su charakteringosios lygties šaknimi, tai sprendinio <math>\tilde{y}</math> išraišką nusako (50) formulė. Taigi
5 067

pakeitimai