Matematika/Gauso formulė: Skirtumas tarp puslapio versijų

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Paraboloid (aptarimas | indėlis)
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42 eilutė:
:<math>=\iint_S R \rho\mathbf{d}\rho \mathbf{d}\phi=\int_0^{2\pi} \left( \int_0^R R \rho\mathbf{d}\rho \right) \mathbf{d}\phi =</math>
:<math>=\int_0^{2\pi} \left( R \cdot \frac{R^2}{2} \right) \mathbf{d}\phi =\frac{R^3}{2}\int_0^{2\pi} \mathbf{d}\phi= \frac{R^3}{2}\cdot 2\pi=R^3 \pi.</math>
:<math>V=3 V_x=\frac{9}{4} 3 R^43 \pi^2.</math>
:Pasinaudodami [http://integrals.wolfram.com/index.jsp?expr=%28R%5E2+-+x%5E2%29%5E%283%2F2%29&random=false internetiniu integratoriumi], gauname, kad
:Gautas tūris nesutampa su Gauso formulės logika.
:<math> \int_0^R \sqrt{(R^2-\rho^2)^3} \mathbf{d}\rho =\frac{1}{8}\left( \rho(5 R^2 - 2\rho^2)\sqrt{R^2-\rho^2}+3R^4 \arctan\frac{\rho}{\sqrt{R^2-\rho^2}} \right)|_0^R.</math>
:Toliau pritaikydami ribas, kai <math>\rho</math> artėja į <math>R</math>, gauname:
:<math> \int_0^R \sqrt{(R^2-\rho^2)^3} \mathbf{d}\rho =\frac{1}{8}\left( R(5 R^2 - 2R^2)\sqrt{R^2-R^2}+3R^4 \arctan\frac{R}{\sqrt{R^2-\rho^2}} \right)|_0^R=</math>
:<math>=\frac{1}{8}\left( 3R^3 \cdot \sqrt{0}+3 R^4 \arctan\frac{R}{\lim_{\rho\to R}(\sqrt{R^2-\rho^2})} \right)|_0^R=\frac{1}{8}\left(0+3 R^4 \arctan\frac{R}{0.00000000001} \right)=</math>
:<math>=\frac{1}{8}\left(3 R^4 \arctan(\infty) \right).</math>
:Kadangi, <math>\lim_{a \to \infty}=\arctan(a)=\pi</math>, tai <math>\arctan(\infty)=\pi.</math> Todėl,
:<math> \int_0^R \sqrt{(R^2-\rho^2)^3} \mathbf{d}\rho =\frac{3}{8} R^4 \pi .</math>
:Vadinasi,
:<math>V_x=\iint_S x^3 \mathbf{d}y \mathbf{d}z=\int_0^{2\pi} \left( \int_0^R \sqrt{(R^2-\rho^2)^3} \mathbf{d}\rho \right) \mathbf{d}\phi=\int_0^{2\pi} \frac{3}{8} R^4 \pi \mathbf{d}\phi = \frac{3}{8} R^4 \pi \phi_0^{2\pi}= \frac{3}{8} R^4 \pi \phi |_0^{2\pi} =\frac{3}{8} R^4 \pi\cdot 2\pi=\frac{3}{4} R^4 \pi^2.</math>
:<math>V=3 V_x=\frac{9}{4} R^4 \pi^2.</math>
 
==Taip pat skaitykite==