Matematika/Gauso formulė: Skirtumas tarp puslapio versijų
Ištrintas turinys Pridėtas turinys
44 eilutė:
:<math>V=3 V_x=3 R^3 \pi.</math>
:Gautas tūris nesutampa su Gauso formulės logika.
:'''Kitaip patikrinsime''' apskaičiuodami <math>\iint_S x^3 \mathbf{d}y \mathbf{d}z, \; \iint_S y^3 \mathbf{d}z \mathbf{d}x</math> ir <math>\iint_S x^3 \mathbf{d}x \mathbf{d}y</math> sumą.
:<math>x^2=R^2-y^2-z^2,</math>
:<math>x=\sqrt{R^2-y^2-z^2}.</math>
:<math>V_x=\iint_S x^3 \mathbf{d}y \mathbf{d}z=\iint_S \left( \sqrt{R^2-y^2-z^2} \right)^3 \mathbf{d}y \mathbf{d}z=\iint_S \left( \sqrt{R^2-\rho^2} \right)^3 \rho \mathbf{d}\rho \mathbf{d}\phi=</math>
:<math>=\int_0^{2\pi} \left( \int_0^R \rho \sqrt{(R^2-\rho^2)^3} \mathbf{d}\rho \right) \mathbf{d}\phi .</math>
:Pasinaudodami [http://integrals.wolfram.com/index.jsp?expr=x+%28R%5E2+-+x%5E2%29%5E%283%2F2%29&random=false internetiniu integratoriumi], gauname, kad
:<math> \int_0^R \rho\sqrt{(R^2-\rho^2)^3} \mathbf{d}\rho =-\frac{1}{5}((R-\rho)(R+\rho))^{5/2}|_0^R=</math>
:<math>=-\frac{1}{5}((R-R)(R+R))^{5/2}-\left( -\frac{1}{5}((R-0)(R+0))^{5/2}\right)=</math>
:<math>=0+\frac{1}{5}((R-0)(R+0))^{5/2}=\frac{1}{5}(R^2)^{5/2}=\frac{R^5}{5}; </math>
:<math>V_x=\int_0^{2\pi} \left( \int_0^R \rho \sqrt{(R^2-\rho^2)^3} \mathbf{d}\rho \right) \mathbf{d}\phi =\int_0^{2\pi} \frac{R^5}{5} \mathbf{d}\phi =\frac{2\pi R^5}{5}.</math>
:Kadangi reikia dviejų rutulio pusrutulių (teigiama ir neigiama ''Ox'' kryptimi), tai
:<math>V_X=2 V_x=2\cdot \frac{2\pi R^5}{5}=\frac{4\pi R^5}{5}.</math>
:Kadangi, pagal sąlyga bus <math>V_X=V_Y=V_Z,</math> tai
:<math>V=3 V_X=3\cdot \frac{4\pi R^5}{5}=\frac{12\pi R^5}{5}.</math>
==Taip pat skaitykite==
| |||