Matematika/Gauso formulė: Skirtumas tarp puslapio versijų
Ištrintas turinys Pridėtas turinys
73 eilutė:
:<math>V=3 V_X=3\cdot \frac{4\pi R^5}{5}=\frac{12\pi R^5}{5}.</math>
:'''Ką norėta rasti ir kas rasta'''. Norėta apskaičiuoti (kaip supranta redaguotojas) sferos iš skardos masę. Skardos tankis vienu skaičiavimu kinta tik priklausomai nuo ''Ox'' koordinatės pagal funkcija <math>\gamma(x)=x^3.</math> Antru atveju skardos tankis kinta tik priklausomai nuo ''y'' koordinatės pagal funkciją <math>\gamma(y)=y^3.</math> Trečiu atveju skardos tankis kinta tik priklausomai nuo ''z'' koordinatės pagal funkciją <math>\gamma(z)=z^3.</math> Kadangi rutulys simetriškas, tai užtenka apskaičiuoti, tarkime, <math>\iint_S z^3 \mathbf{d}x \mathbf{d}y</math> ir padauginti iš 3, o paskui dar padauginti iš 2, nes ir teigiama ir neigiama kryptimi tankis didėja vienodai. Skaičiuojant analogiškai kreiviniam integralui (pirmojo tipo) gauname atsakyma <math>M=6\pi R^3.</math> Atsakymas <math>M=6\pi R^3</math> ir yra skardinės sferos masė išintegruota trimis ašimis <math>M=\iint_S x^3 dy dz+ \iint_S y^3 dz dx+ \iint_S z^3 dx dy. </math> Pagal Gauso samprotavimo formulę skardinės sferos masė yra <math>M=\frac{12\pi R^5}{5}.</math> Kiek suprantu, Gauso formulė iškraipo prasmę ''integravimas paviršiumi'', nes tik su iškraipyta prasme ''integravimas paviršiumi'' Gauso formulė gali egzistuoti kaip teisinga formulė.
:Gauto rezultato <math>\iint_S z^3 \mathbf{d}x \mathbf{d}y=\frac{1}{3}\cdot \frac{12\pi R^5}{5}=\frac{4\pi R^5}{5}</math> prasmę galima išaiškinti taip: sfera spindulio <math>R=10</math> projektuojasi į plokštumą ''xOy''; sferos centras yra taškas ''O'', sferos projekcija į ''xOy'' plokštumą yra skritulys, kurio centras koordinačių pradžios taškas ''O''; skritulio formulė yra <math>x^2+y^2\le R^2;</math> skritulio plotas telpa į apskritimą kurio formulė <math>x^2+y^2= R^2;</math> kadangi apskritimo plokštumoje ''xOy'' spindulys <math>r=10</math> kaip ir sferos spindulys, tai į plotą <math>\pi r^2=\pi\cdot 10^2=100\pi=314.1592653589793</math> telpa 314 strypų lygiagrečių ''Oz'' ašiai ir atstumas tarp strypų ant ''xOy'' plokštumos yra vienodas; kiekvienas strypas susikerta su sferos paviršiumi ir kiekvieno strypo ilgis yra nuo plokštumos ''xOy'' iki susikirtimo su sferos paviršiumi (mes skaičiuojame tik vienam pusrutuliui, tik teigiama ''Oz'' ašimi); trumpiausias strypo ilgis yra 0, o ilgiausias strypo ilgis yra iš centro ''O'' ir lygus R=10; dabar kiekvieną strypo ilgį reikia pakelti kubu, nes <math>z^3;</math> Todėl strypo iš centro ''O'' (sutampančiam su ašimi ''Oz'') ilgis yra <math>z^3=R^3=10^3=1000;</math> tolstančių nuo centro strypų ilgis trumpėja, o ant apskritimo kraštų strypų ilgis artimas arba lygus nuliui; rezultatas <math>\frac{4\pi R^5}{5}=\frac{4\pi 10^5}{5}=80000\pi=251327.412287</math> yra visų strypų ant plokštumos ''xOy'' ir lygiagrečių ašiai ''Oz'' ilgių suma (dviejų pusrutulių).
==Taip pat skaitykite==
| |||