Matematika/Trikampiai: Skirtumas tarp puslapio versijų

Ištrintas turinys Pridėtas turinys
55 eilutė:
 
Iš trikampio kampo išėjusi tiesė, kuri priešais tą kampą esančią kraštinę dalina pusiau, vadinama trikampio pusiaukraštinė. Jei susikerta dvi trikampio pusiaukraštinės, tai jos vieną kita padalina santykiu 2:1. Didesnė padalintos pusiaukraštinės dalis yra arčiau kampo.
 
==Trikampio ploto radimas žinant koordinates==
[[Vaizdas:Trapecijaris11-4.jpg|thumb|11.]]
'''Trikampio plotas'''. Bet kokiems taškams <math>A(x_1; y_1)</math>, <math>B(x_2; y_2)</math> ir <math>C(x_3; y_3)</math> negulintiems ant vienos tiesės, plotas ''S'' trikampio ''ABC'' išreiškiamas formule
:<math>S=\frac{1}{2}|[(x_2-x_1)(y_3-y_1)-(x_3-x_1)(y_2-y_1)]|.</math>
:''Įrodymas''. Plotą trikampio ''ABC'' pavaizduotą pav. 11, galima rasti taip:
:<math>S_{ABC}=S_{ADEC}+S_{BCEF}-S_{ABFD},\;</math>
:kur <math>S_{ADEC}</math>, <math>S_{BCEF}</math>, <math>S_{ABFD}</math> - plotai atitinkamų trapecijų.
:Kadangi
:<math>S_{ADEC}=|DE|\frac{|AD|+|CE|}{2}=\frac{(x_3-x_1)(y_3+y_1)}{2},</math>
:<math>S_{BCEF}=|EF|\frac{|EC|+|BF|}{2}=\frac{(x_2-x_3)(y_2+y_3)}{2},</math>
:<math>S_{ABFD}=|DF|\frac{|AD|+|BF|}{2}=\frac{(x_2-x_1)(y_1+y_2)}{2},</math>
:įstatę išraiškas šiems plotams į lygybę <math>S_{ABC}=S_{ADEC}+S_{BCEF}-S_{ABFD},</math> gausime formulę
:<math>S_{ABC}=S_{ADEC}+S_{BCEF}-S_{ABFD}=\frac{1}{2}|[(x_3-x_1)(y_3+y_1)+(x_2-x_3)(y_2+y_3)-(x_2-x_1)(y_1+y_2)]|=</math>
:<math>=\frac{1}{2}|[(x_1-x_2)(y_1+y_2)+(x_2-x_3)(y_2+y_3)+(x_3-x_1)(y_3+y_1)]|=</math>
:<math>=\frac{1}{2}|(x_1 y_1+x_1 y_2-x_2 y_1-x_2 y_2+x_2 y_2+ x_2 y_3-x_3 y_2- x_3 y_3+x_3 y_3+x_3 y_1-x_1 y_3-x_1 y_1)|=</math>
:<math>=\frac{1}{2}|(x_1 y_2-x_2 y_1+ x_2 y_3-x_3 y_2+x_3 y_1-x_1 y_3)|=\frac{1}{2}|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)|=</math>
:<math>=\frac{1}{2}|(x_2-x_1)(y_3-y_1)-(x_3-x_1)(y_2-y_1)|.</math>
 
:'''Pavyzdis'''. Duoti taškai ''A''(1; 1), ''B''(6; 4), ''C''(8; 2). Rasti trikampio ''ABC'' plotą. Randame:
:<math>S_{ABC}=\frac{1}{2}|[(x_2-x_1)(y_3-y_1)-(x_3-x_1)(y_2-y_1)]|=\frac{1}{2}|(6-1)(2-1)-(8-1)(4-1)|=\frac{1}{2}|5\cdot 1-7\cdot 3|=\frac{1}{2}|5-21|=\frac{1}{2}|-16|=\frac{16}{2}=8;</math>
:<math>S_{ABC}=S_{ADEC}+S_{BCEF}-S_{ABFD}=\frac{1}{2}|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)|=\frac{1}{2}|1(4-2)+6(2-1)+8(1-4)|=\frac{1}{2}|2+6+8\cdot (-3)|=</math>
:<math>=\frac{1}{2}|8-24|=\frac{1}{2}|-16|=8.</math>
 
[[Category:Matematika]]