Herono formulė: Skirtumas tarp puslapio versijų

Ištrintas turinys Pridėtas turinys
Puslapis keičiamas su „BBD“
1 eilutė:
BBD
Žinant visas tris trikampio kraštines '''a''', '''b''' ir '''c''', trikampio plotą galima paskaičiuoti pagal formulę:
 
: <math>S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} . \;</math>
 
Čia '''p''' yra trikampio pusperimetris. Jis lygus pusei trikampio perimetro:
 
: <math>p = \frac{P}{2}=\frac{a+b+c}{2}. \;</math>
 
==Herono formulės įrodymas==
 
Turime trikampį ''ABC'' ir turime tokias kraštines CB=a, AB=c, AC=b. Iš kampo ''A'' nuleidžiame aukštinę ''h'' į ilgiausią trikampio kraštinę ''a'', o toje vietoje kur susikerta aukštinė ''h'' su kraštine ''a'' yra taškas ''D''. Tuomet DB=x ir CD=a-x. Iš pitagoro teoremos žinome, kad
:<math>h=\sqrt{c^2-x^2},</math>
:<math>(a-x)^2=b^2-h^2.</math>
Tuomet <math>h</math> iš pirmos lygties įstatome į antrąją lygtį ir gauname:
:<math>(a-x)^2=b^2-(\sqrt{c^2-x^2})^2,</math>
:<math>a^2-2ax+x^2=b^2-(c^2-x^2),</math>
:<math>a^2-2ax+x^2=b^2-c^2+x^2,</math>
:<math>a^2-2ax=b^2-c^2,</math>
:<math>-2ax=b^2-c^2-a^2,</math>
:<math>2ax=c^2+a^2-b^2,</math>
:<math>x=\frac{c^2+a^2-b^2}{2a}.</math>
:Randame Trikampio ''ABC'' aukšinę:
:<math>h=\sqrt{c^2-x^2}=\sqrt{c^2-\left(\frac{c^2+a^2-b^2}{2a}\right)^2}=\sqrt{c^2-\frac{(c^2+a^2-b^2)^2}{4a^2}}=\sqrt{c^2-\frac{(c^4+a^2 c^2-b^2 c^2)+(a^2 c^2+a^4-a^2 b^2) -b^2 c^2-a^2 b^2+b^4}{4a^2}}=</math>
:<math>=\sqrt{c^2-\frac{c^4+2 a^2 c^2-2 b^2 c^2+a^4-2 a^2 b^2+b^4}{4a^2}}=\sqrt{\frac{4a^2 c^2-(c^4+2 a^2 c^2-2 b^2 c^2+a^4-2 a^2 b^2+b^4)}{4a^2}}=</math>
:<math>=\sqrt{\frac{4a^2 c^2-c^4-2 a^2 c^2+2 b^2 c^2-a^4+2 a^2 b^2-b^4}{4a^2}}=\sqrt{\frac{2 a^2 c^2-c^4+2 b^2 c^2-a^4+2 a^2 b^2-b^4}{4a^2}}=\sqrt{\frac{2 (a^2 c^2+ b^2 c^2+ a^2 b^2)-c^4-a^4-b^4}{4a^2}}=</math>
:<math>=\sqrt{\frac{-(-2 a^2 c^2-2 b^2 c^2-2 a^2 b^2+c^4+a^4+b^4)}{4a^2}}=\sqrt{\frac{-(c^2(-2 a^2 -2 b^2 +c^2)+(a^2-b^2)^2)}{4a^2}}=\frac{\sqrt{c^2(2 (a^2 + b^2) -c^2)-(a^2-b^2)^2}}{2a}.</math>
 
:<math>h=\sqrt{c^2-x^2}=\sqrt{(c-x)(c+x)}=\sqrt{(c-\frac{c^2+a^2-b^2}{2a})(c+\frac{c^2+a^2-b^2}{2a})}=\sqrt{(\frac{2ac-(c^2+a^2-b^2)}{2a})(\frac{2ac+c^2+a^2-b^2}{2a})}=</math>
:<math>=\sqrt{(\frac{2ac-c^2-a^2+b^2}{2a})(\frac{(c+a)^2-b^2}{2a})}=\sqrt{(\frac{-(a^2-2ac+c^2)+b^2}{2a})(\frac{((c+a)-b)((c+a)+b)}{2a})}=</math>
:<math>=\sqrt{(\frac{b^2-(a-c)^2}{2a})(\frac{(c+a-b)(c+a+b)}{2a})}=\sqrt{(\frac{(b-(a-c))(b+(a-c))}{2a})(\frac{(c+a-b)(c+a+b)}{2a})}=</math>
:<math>=\sqrt{(\frac{(b-a+c)(b+a-c)}{2a})(\frac{(c+a-b)(c+a+b)}{2a})}=\sqrt{\frac{(b-a+c)(b+a-c)(c+a-b)2p}{4a^2}}=\sqrt{\frac{2(p-a)2(p-c)2(p-b)2p}{4a^2}}=</math>
:<math>=\sqrt{\frac{16p(p-a)(p-c)(p-b)}{4a^2}}=\sqrt{\frac{4p(p-a)(p-c)(p-b)}{a^2}}.</math>
:p=(a+b+c)/2, 2p=(a+b+c), 2p-2a=a+b+c-2a=-a+b+c, 2(p-a)=-a+b+c ir taip pat su kitais.
 
:Dabar galime surasti trikampio plotą:
:<math>S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h=\frac{1}{2}\cdot a\cdot \sqrt{c^2-\left(\frac{c^2+a^2-b^2}{2a}\right)^2}.</math>
:<math>S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h=\frac{1}{2}\cdot a\cdot \sqrt{\frac{2 (a^2 c^2+ b^2 c^2+ a^2 b^2)-c^4-a^4-b^4}{4a^2}}=\frac{1}{4}\cdot \sqrt{2 (a^2 c^2+ b^2 c^2+ a^2 b^2)-c^4-a^4-b^4}.</math>
 
*Pavyzdis, kai a=6, h=4, b=5, c=5, tai S=a*h/2=6*4/2=12. O taip pat ir:
:<math>S_{\Delta }=\frac{1}{2}\cdot a\cdot \sqrt{c^2-\left(\frac{c^2+a^2-b^2}{2a}\right)^2}=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot \sqrt{5^2-\left(\frac{5^2+6^2-5^2}{2\cdot 6}\right)^2}=3\cdot \sqrt{25-\left(\frac{25+36-25}{12}\right)^2}=3\cdot \sqrt{25-\left(\frac{36}{12}\right)^2}=</math>
:<math>=3\cdot \sqrt{25-3^2}=3\cdot \sqrt{25-9}=3\cdot \sqrt{16}=3\cdot 4=12.</math>
 
*'''Pavyzdis'''. Duotas status trikampis ABC, kurio vienas statinis yra a=3, o kitas statinis yra b=h=4, o įžambinė c=5. Trikampio plotas yra S=a*b/2=3*4/2=12/2=6. Dabar rasime ši plotą per Herono formulę:
:<math>S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot \sqrt{c^2-\left(\frac{c^2+a^2-b^2}{2a}\right)^2}=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot \sqrt{5^2-\left(\frac{5^2+3^2-4^2}{2\cdot 3}\right)^2}=\frac{3}{2}\cdot \sqrt{25-\left(\frac{25+9-16}{6}\right)^2}=\frac{3}{2}\cdot \sqrt{25-\left(\frac{18}{6}\right)^2}=</math>
:<math>=\frac{3}{2}\cdot \sqrt{25-3^2}=\frac{3}{2}\cdot \sqrt{25-9}=\frac{3}{2}\cdot \sqrt{16}=\frac{3}{2}\cdot 4=3\cdot 2=6.</math>
: <math>S_{\Delta ABC} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} =\sqrt{6(6-3)(6-4)(6-3)} =\sqrt{6\cdot 3\cdot 2\cdot 1} =\sqrt{36}=6, </math>
:<math>p = \frac{P}{2}=\frac{a+b+c}{2}=\frac{3+4+5}{2}=\frac{12}{2}=6. </math>
 
 
===Pavyzdžiai===
 
 
*Duotas trikampis, kurio pagrindas <math>c=30.</math> Kairė trikampio kraštinė yra <math>a=20.</math> Dešinė trikampio kraštinė yra <math>b=25.</math>
:Rasti trikampio sudaryto iš kraštinių ''a, b, c'' plotą.
:''Sprendimas''.
:<math>p = \frac{a+b+c}{2}=\frac{30+25+20}{2}=\frac{75}{2}=37.5;</math>
:<math>S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} =\sqrt{37.5(37.5-30)(37.5-25)(37.5-20)} =</math>
:<math>=\sqrt{37.5\cdot 7.5\cdot 12.5\cdot 17.5} =\sqrt{37.5\cdot 7.5\cdot 12.5\cdot 17.5} =</math>
:<math>=\sqrt{61523.4375} =248.0391854.</math>
 
== Nuorodos ==
* [http://jwilson.coe.uga.edu/EMT725/Heron/HeronProofAlg.html Herono formulės įrodymas taikant pitagoro teoremą]
* [http://jwilson.coe.uga.edu/EMT668/EMAT6680.2000/Umberger/MATH7200/HeronFormulaProject/GeometricProof/geoproof.html Herono formulės įrodymas taikant trigonometriją ir kampus]
*[http://www2.warwick.ac.uk/services/elearning/mathsfit/trigonometry/3/ast3nb.pdf Kosinusų teoremos įrodymas, PDF]
*[http://www.themathpage.com/aTrig/law-of-cosines.htm Kosinusų teoremos įrodymas]
*[http://jwilson.coe.uga.edu/emt725/Class/Brooks/Brahmagupta/Brahmagupta.html Taikant Herono formulę įrodoma į apskritimą įbrėžto keturkampio ploto formulė]
*[http://www.mathsisfun.com/geometry/herons-formula.html Herono formulės skaičiuotuvas]
*[http://www.learningplace.com.au/sc/online/math_10/MY910_heronsformulapractice.pdf Herono formulės pavyzdžiai]