|
a=AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2};
Žinant visas tris trikampio kraštines a, b ir c, trikampio plotą galima paskaičiuoti pagal formulę:
b=AC=\sqrt{(x_3-x_1)^2+(y_3-y_1)^2+(z_3-z_1)^2};
S c=BC= \sqrt{p(px_3-ax_2)^2+(py_3-by_2)^2+(pz_3-cz_2)^2} . \;
a^2=AB^2=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2=x_2^2-2 x_2 x_1+x_1^2+y_2^2-2 y_2 y_1+y_1^2+z_2^2-2 z_2 z_1+z_1^2;
Čia p yra trikampio pusperimetris. Jis lygus pusei trikampio perimetro:
b^2=AC^2=(x_3-x_1)^2+(y_3-y_1)^2+(z_3-z_1)^2=x_3^2-2 x_3 x_1+x_1^2+y_3^2-2 y_3 y_1+y_1^2+z_3^2-2 z_3 z_1+z_1^2;
c^2=BC^2=(x_3-x_2)^2+(y_3-y_2)^2+(z_3-z_2)^2=x_3^2-2 x_3 x_2+x_2^2+y_3^2-2 y_3 y_2+y_2^2+z_3^2-2 z_3 z_2+z_2^2.
p = \frac{P}{2}=\frac{a+b+c}{2}. \;
Iš Herono formulės įrodymas[redaguoti]turime išvedę, kad trikampio ABC plotas yra:
S_{\Delta ABC}=\frac{1}{ 24}\cdot a\ cdot h=\frac{1}sqrt{2 }\cdot (a \cdot^2 \sqrt{c^2 -\left(\frac{+ b^2 c^2+ a^2 - b^2 }{2a}\right) -c^ 24-a^4-b^4}. ▼Turime trikampį ABC ir turime tokias kraštines CB=a, AB=c, AC=b. Iš kampo A nuleidžiame aukštinę h į ilgiausią trikampio kraštinę a, o toje vietoje kur susikerta aukštinė h su kraštine a yra taškas D. Tuomet DB=x ir CD=a-x. Iš pitagoro teoremos žinome, kad
S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h=\frac{1}{2}\cdot a\cdot \sqrt{ c^2-\left(\frac{ 2 (a^2 c^2+ b^2 c^2+ a^2 -b^2 )-c^4-a^4-b^4}{ 4a2a}\right)^2 }}=\frac{1}{4}\cdot \sqrt{ 2 (a4a^2 c^2 + b^2 -(c^2+ a^2 -b^2) -c^ 4-a^4-b^42}. ▼
Taigi turime:
h=\sqrt{c^2-x^2},
S_{\Delta ABC}=\frac{1}{4}\sqrt{2 (a^2 c^2+ b^2 c^2+ a^2 b^2)-c^4-a^4-b^4}=
(a-x)^2=b^2-h^2.
=\frac{1}{4}\sqrt{2 ([(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2] [(x_3-x_2)^2+(y_3-y_2)^2+(z_3-z_2)^2]+ b^2 c^2+ a^2 b^2)-c^4-a^4-b^4}=
Tuomet h iš pirmos lygties įstatome į antrąją lygtį ir gauname:
(a-x)^2=b^2-(\sqrt{c^2-x^2})^2,
a^2-2ax+x^2=b^2-(c^2-x^2),
a^2-2ax+x^2=b^2-c^2+x^2,
a^2-2ax=b^2-c^2,
-2ax=b^2-c^2-a^2,
2ax=c^2+a^2-b^2,
x=\frac{c^2+a^2-b^2}{2a}.
Randame Trikampio ABC aukšinę:
h=\sqrt{c^2-x^2}=\sqrt{c^2-\left(\frac{c^2+a^2-b^2}{2a}\right)^2}=\sqrt{c^2-\frac{(c^2+a^2-b^2)^2}{4a^2}}=\sqrt{c^2-\frac{(c^4+a^2 c^2-b^2 c^2)+(a^2 c^2+a^4-a^2 b^2) -b^2 c^2-a^2 b^2+b^4}{4a^2}}=
=\sqrt{c^2-\frac{c^4+2 a^2 c^2-2 b^2 c^2+a^4-2 a^2 b^2+b^4}{4a^2}}=\sqrt{\frac{4a^2 c^2-(c^4+2 a^2 c^2-2 b^2 c^2+a^4-2 a^2 b^2+b^4)}{4a^2}}=
=\sqrt{\frac{4a^2 c^2-c^4-2 a^2 c^2+2 b^2 c^2-a^4+2 a^2 b^2-b^4}{4a^2}}=\sqrt{\frac{2 a^2 c^2-c^4+2 b^2 c^2-a^4+2 a^2 b^2-b^4}{4a^2}}=\sqrt{\frac{2 (a^2 c^2+ b^2 c^2+ a^2 b^2)-c^4-a^4-b^4}{4a^2}}=
=\sqrt{\frac{-(-2 a^2 c^2-2 b^2 c^2-2 a^2 b^2+c^4+a^4+b^4)}{4a^2}}=\sqrt{\frac{-(c^2(-2 a^2 -2 b^2 +c^2)+(a^2-b^2)^2)}{4a^2}}=\frac{\sqrt{c^2(2 (a^2 + b^2) -c^2)-(a^2-b^2)^2}}{2a}.
h=\sqrt{c^2-x^2}=\sqrt{(c-x)(c+x)}=\sqrt{(c-\frac{c^2+a^2-b^2}{2a})(c+\frac{c^2+a^2-b^2}{2a})}=\sqrt{(\frac{2ac-(c^2+a^2-b^2)}{2a})(\frac{2ac+c^2+a^2-b^2}{2a})}=
=\sqrt{(\frac{2ac-c^2-a^2+b^2}{2a})(\frac{(c+a)^2-b^2}{2a})}=\sqrt{(\frac{-(a^2-2ac+c^2)+b^2}{2a})(\frac{((c+a)-b)((c+a)+b)}{2a})}=
=\sqrt{(\frac{b^2-(a-c)^2}{2a})(\frac{(c+a-b)(c+a+b)}{2a})}=\sqrt{(\frac{(b-(a-c))(b+(a-c))}{2a})(\frac{(c+a-b)(c+a+b)}{2a})}=
=\sqrt{(\frac{(b-a+c)(b+a-c)}{2a})(\frac{(c+a-b)(c+a+b)}{2a})}=\sqrt{\frac{(b-a+c)(b+a-c)(c+a-b)2p}{4a^2}}=\sqrt{\frac{2(p-a)2(p-c)2(p-b)2p}{4a^2}}=
=\sqrt{\frac{16p(p-a)(p-c)(p-b)}{4a^2}}=\sqrt{\frac{4p(p-a)(p-c)(p-b)}{a^2}}.
p=(a+b+c)/2, 2p=(a+b+c), 2p-2a=a+b+c-2a=-a+b+c, 2(p-a)=-a+b+c ir taip pat su kitais.
Dabar galime surasti trikampio plotą:
▲S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h=\frac{1}{2}\cdot a\cdot \sqrt{c^2-\left(\frac{c^2+a^2-b^2}{2a}\right)^2}.
▲S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h=\frac{1}{2}\cdot a\cdot \sqrt{\frac{2 (a^2 c^2+ b^2 c^2+ a^2 b^2)-c^4-a^4-b^4}{4a^2}}=\frac{1}{4}\cdot \sqrt{2 (a^2 c^2+ b^2 c^2+ a^2 b^2)-c^4-a^4-b^4}.
Pavyzdis, kai a=6, h=4, b=5, c=5, tai S=a*h/2=6*4/2=12. O taip pat ir:
S_{\Delta }=\frac{1}{2}\cdot a\cdot \sqrt{c^2-\left(\frac{c^2+a^2-b^2}{2a}\right)^2}=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot \sqrt{5^2-\left(\frac{5^2+6^2-5^2}{2\cdot 6}\right)^2}=3\cdot \sqrt{25-\left(\frac{25+36-25}{12}\right)^2}=3\cdot \sqrt{25-\left(\frac{36}{12}\right)^2}=
=3\cdot \sqrt{25-3^2}=3\cdot \sqrt{25-9}=3\cdot \sqrt{16}=3\cdot 4=12.
Pavyzdis. Duotas status trikampis ABC, kurio vienas statinis yra a=3, o kitas statinis yra b=h=4, o įžambinė c=5. Trikampio plotas yra S=a*b/2=3*4/2=12/2=6. Dabar rasime ši plotą per Herono formulę:
S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot \sqrt{c^2-\left(\frac{c^2+a^2-b^2}{2a}\right)^2}=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot \sqrt{5^2-\left(\frac{5^2+3^2-4^2}{2\cdot 3}\right)^2}=\frac{3}{2}\cdot \sqrt{25-\left(\frac{25+9-16}{6}\right)^2}=\frac{3}{2}\cdot \sqrt{25-\left(\frac{18}{6}\right)^2}=
=\frac{3}{2}\cdot \sqrt{25-3^2}=\frac{3}{2}\cdot \sqrt{25-9}=\frac{3}{2}\cdot \sqrt{16}=\frac{3}{2}\cdot 4=3\cdot 2=6.
S_{\Delta ABC} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} =\sqrt{6(6-3)(6-4)(6-3)} =\sqrt{6\cdot 3\cdot 2\cdot 1} =\sqrt{36}=6,
p = \frac{P}{2}=\frac{a+b+c}{2}=\frac{3+4+5}{2}=\frac{12}{2}=6.
Pavyzdžiai[redaguoti]
Duotas trikampis, kurio pagrindas c=30. Kairė trikampio kraštinė yra a=20. Dešinė trikampio kraštinė yra b=25.
Rasti trikampio sudaryto iš kraštinių a, b, c plotą.
Sprendimas.
p = \frac{a+b+c}{2}=\frac{30+25+20}{2}=\frac{75}{2}=37.5;
S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} =\sqrt{37.5(37.5-30)(37.5-25)(37.5-20)} =
=\sqrt{37.5\cdot 7.5\cdot 12.5\cdot 17.5} =\sqrt{37.5\cdot 7.5\cdot 12.5\cdot 17.5} =
=\sqrt{61523.4375} =248.0391854.
Nuorodos[redaguoti]
Herono formulės įrodymas taikant pitagoro teoremą
Herono formulės įrodymas taikant trigonometriją ir kampus
Kosinusų teoremos įrodymas, PDF
Kosinusų teoremos įrodymas
Taikant Herono formulę įrodoma į apskritimą įbrėžto keturkampio ploto formulė
Herono formulės skaičiuotuvas
Herono formulės pavyzdžiai
| 