Matematika/Paviršių liečianti plokštuma: Skirtumas tarp puslapio versijų
Ištrintas turinys Pridėtas turinys
Nėra keitimo santraukos Žymos: Keitimas mob. telefonu Keitimas įskiepiu mobiliesiems |
S Atmestas 188.69.213.136 (Aptarimas) pakeitimas; sugrąžinta Versatranitsonlywaytofly versija Žyma: Atmesti |
||
26 eilutė:
[[Vaizdas:Ris305good4.jpg|thumb|305 pav.]]
:Išsiaiškinsime dabar ''geometrinę prasmę pilnojo diferencialo'' funkcijos dviejų kintamųjų.
:Tegu funkcija <math>z=f(x; y)</math> diferencijuojama taške <math>(x_0;
:<math>z-f(x_0; y_0)=f_x'(x_0; y_0)(x-x_0)+f_y'(x_0; y_0)(y-y_0),</math>
:arba, pažymėję <math>x-x_0=\Delta x</math>, <math>y-y_0=\Delta y</math>, pavidale:
:<math>z-f(x_0; y_0)=f_x'(x_0; y_0)\Delta x+f_y'(x_0; y_0)\Delta y.</math>
:Šioje lygybėje kairėje stovi skirtumas aplikačių taškų liečiamosios plokštumos, atitinkančių taškams <math>(x_0; y_0)</math> ir <math>(x_0+\Delta x; y_0+\Delta y),</math> o iš dešinės - pilnas diferencialas funkcijos <math>z=f(x; y)</math> taške <math>(x_0; y_0)</math>.
:Tokiu budu, pilnas diferencialas funkcijos <math>z=f(x; y)</math> taške <math>(x_0; y_0)</math> geometriškai reiškia priaugimą aplikatės liečiamosios plokštumos paviršiaus, vaizduojančio funkciją, taške <math>(x_0; y_0; f(x_0; y_0))</math> pereinant iš taško <math>(x_0; y_0)</math> į tašką <math>(x_0+\Delta x; y_0+\Delta y)</math> (priminsime, kad funkcijai nuo vieno kintamojo <math>y=f(x)</math> diferencialas taške <math>x_0</math> yra priaugimas ordinatės liestinės prie kreivės, vaizduojančios funkciją, taške <math>(x_0; f(x_0))</math> pereinant iš taško <math>x_0</math> į tašką <math>x_0+\Delta x.</math>
:Funkcijai <math>z=f(x; y),</math> pavaizduotai pav 305, diferencialas ''dz'' taške <math>M_0</math> neigiamas.
:'''Apibendrinimas'''. Paviršiaus liečiamosios plokštumos
:<math>z- f(x_0; y_0)=f_x'(x_0; y_0)(x-x_0)+f_y'(x_0; y_0)(y-y_0),</math>
:<math>f_x'(x_0; y_0)(x-x_0)+f_y'(x_0; y_0)(y-y_0)-(z-z_0)=0,</math>
:taške <math>N_0(x_0; y_0; z_0)</math> normalės vektorius yra <math>\vec{n}=(f_x'(x_0; y_0); \; f_y'(x_0; y_0); \; -1).</math> Taškas <math>N_0(x_0; y_0; z_0)</math> jungiasi su bet kuriuo paviršiaus tašku ''N'' ir gaunamas vektorius <math>\vec{N_0 N}=(x-x_0; y-y_0; z-z_0).</math> Žinome, kad dviejų vienas kitam statmenų vektorių skaliarinė sandauga lygi nuliui. Todėl ir turime tokią liečiamosios plokštumos lygtį, kai sudauginame du vektorius:
:<math>\vec{n}\cdot \vec{N_0 N}=f_x'(x_0; y_0)\cdot (x-x_0)+f_y' (x_0; y_0)\cdot (y-y_0)+(-1)\cdot (z-z_0)=f_x'(x_0; y_0)(x-x_0)+f_y'(x_0; y_0)(y-y_0)-(z- f(x_0; y_0))=0.</math>
:Kai taškas <math>N\to N_0,</math> tai kampas tarp liečiamosios plokštumos normalės <math>\vec{n}=(f_x'(x_0; y_0); \; f_y'(x_0; y_0); \; -1)</math> ir vektoriaus <math>\vec{N_0 N}=(x-x_0; y-y_0; z-z_0)</math> artėja prie <math>\frac{\pi}{2}.</math> Tolygus kampo didėjimas (iki <math>90^{\circ}</math>) tarp vektorių <math>\vec{n}</math> ir <math>\vec{N_0 N}</math>, kai <math>N\to N_0,</math> ir įrodo, kad paviršius turi tik vieną tašką (<math>N_0</math>), kuriame liečiasi su [liečiamaja] plokštuma.
:Gaunasi, kad
:<math>N N_1=\Delta z-dz=f(x_0+\Delta x; \; y_0+\Delta y)-f(x_0; y_0)-f_x'(x_0; y_0) \Delta x- f_y'(x_0; y_0) \Delta y=</math>
:<math>=f(x; y)-f(x_0; y_0)-f_x'(x_0; y_0) \Delta x- f_y'(x_0; y_0) \Delta y=f(x; y)-f(x_0; y_0)-f_x'(x_0; y_0) (x-x_0)- f_y'(x_0; y_0) (y-y_0)=z-z_0-f_x'(x_0; y_0) (x-x_0)- f_y'(x_0; y_0) (y-y_0)=0,</math>
:kai <math>N\to N_0.</math> Tada <math>\angle \phi\to 0</math> tarp <math>N_0 N</math> ir <math>N_0 N_1.</math> Vadinasi, kai <math>N\to N_0,</math> kampas tarp atkarpos <math>N_0 N</math> ir liečiamosios plokštumos normalės <math>\vec{n}=(f_x'(x_0; y_0); \; f_y'(x_0; y_0); \; -1)</math> artėja prie <math>90^{\circ}.</math>
==Paviršių liečiančios plokštumos įrodymas==
| |||