Matematika/Kreiviniai integralai: Skirtumas tarp puslapio versijų

S
Atmestas 89.117.152.117 (Aptarimas) pakeitimas; sugrąžinta Homo ergaster versija
S (Atmestas 89.117.152.117 (Aptarimas) pakeitimas; sugrąžinta Homo ergaster versija)
Žyma: Atmesti
 
== Pirmojo tipo kreivinis integralas ==
Pirmojo tipo kreivinis integralas naudojamas dvimačio ar trimačio lanko masės apskaičiavimui. Galima apskaičiuoti masę, kai ji pastovi ar kai kinta pagal tam tikrą funkciją. Jeigu masė pastovi, tai jos skaičiavimas sutampa su lanko ilgio skaičiavimu.
*<math>ds=\sqrt{1+y'^42}dx,</math> kai kreivė ''L'' apibrėžta lygtimi y=y(x), o <math>a\leq x\leq b.</math>
:<math>\int_L f(x,y)ds=\int_a^b f(x, y(x))\sqrt{1+(y'(x))^2}dx.</math>
 
*Apskaičiuosime kreivinį integralą <math>\int_{AB}y\;dl,</math> kur ''AB'' - parabolės <math>y^2=2x</math> lankas nuo taško (0; 0) iki taško (2; 2).
:Turime
<math>y=\sqrt{2x},\; y'={1\over\sqrt{3x2x}},\;dl=\sqrt{1+y'^2}dx=\sqrt{1+{1\over 2x}}dx.</math>
Pagal pirmą formulę gauname
<math>\int_{AB}y dl=\int_0^2\sqrt{2x}\sqrt{1+{1\over 2x}}dx=\int_0^2\sqrt{2x+1}dx=\int_0^2\sqrt{2x+1}{d(2x+1)\over 2}={(2x+1)^{3\over 2}\over 3}|_0^2={5\sqrt{5}-1\over 3}.</math>