Matematika/Koši formulė: Skirtumas tarp puslapio versijų

==Išvestinės nulio teorema==

 

:'''Rolio teorema'''. ''Sakykime, funkcija f(x) yra tolydi segmente [a; b] ir diferencijuojama visuose vidiniuose to segmento taškuose. Jei'' <math>f(a)=f(b),</math> ''tai segmento [a; b] viduje yra taškas'' <math>\xi,</math> ''kuriame išvestinės reikšmė lygi nuliui'': <math>f'(\xi)=0.</math>

:Trumpai galima sakyti, kad tarp dviejų skiringų argumento reikšmių, kurias atitinka vienodos diferencijuojamos funkcijos reikšmės, būtinai tos funkcijos išvestinė lygi nuliui.

:''Įrodymas''. Kadangi funkcija ''f(x)'' yra tolydi segmente [''a; b''], tai ta funkcija pasiekia šiame segmente savo maksimaliąją reikšmę ''M'' ir minimaliąją reikšmę ''m''. Galimi du atvejai: 1) <math>M=m, </math> 2) <math>M > m.</math> Kadangi 1 atveju <math>f(x)=M=m=const, </math> tai išvestinė ''f'(x) lygi nuliui bet kuriame segmento [a; b] taške''. Atveju, kai <math>M > m,</math> atsižvelgę į sąlygą <math>f(a)=f(b),</math> galime tvirtinti, kad ''bent vieną'' iš dviejų reikšmių ''M'' ir ''m'' funkcija pasiekia kokiame nors vidiniame segmento [''a; b''] taške <math>\xi.</math> Todėl funkcija ''f(x)'' tame taške <math>\xi</math> turi lokalinį ekstremumą. Kadangi funkcija ''f(x)'' diferencijuojama taške <math>\xi,</math> tai <math>f'(\xi)=0.</math> Teorema visiškai įrodyta.

:Rolio teorema pagrįsta daugelis matematinės analizės formulių ir teoremų.

 

==Bendroji baigtinių pokyčių formulė (Koši formulė)==