Aptarimas:Matematika/Išvestinė polinėje koordinačių sistemoje

Pavyzdis su klaidom

• Rasti kampą $\mu$, kurį sudaro susikertanti liestinė su spinduliu-vektoriu $\rho$, taške $M(6;\;2{\sqrt {3}})$ apskritimo

$x^{2}+y^{2}=8x,\;<=>\;(x-4)^{2}+y^{2}=16.$

Apskritimo $x^{2}+y^{2}=8x$ spindulys $R=4$. Apskritimo centro koordinatės yra (4; 0).

Dydžiojo apskritimo lygtis $x^{2}+y^{2}=8x.$

Sprendimas. Randame

$x^{2}+y^{2}=\rho ^{2};$

$8x=8\rho \cos \theta .$

Dabar apskritimo lygtis perrašyta į polines koordinates atrodo taip:

$x^{2}+y^{2}=8x;$

$\rho ^{2}=8\rho \cos \theta ,$

$\rho =8\cos \theta .$

Randame $\rho _{\theta }$ išvestinę:

$\rho '=(8\cos \theta )'=-8\sin \theta .$

Randame liestinės lygtį:

$y-y_{1}=f'(x_{1})(x-x_{1});$

$y^{2}=8x-x^{2};$

$y={\sqrt {8x-x^{2}}};$

$y'=({\sqrt {8x-x^{2}}})'={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {8-2x}{\sqrt {8x-x^{2}}}}={\frac {4-x}{\sqrt {8x-x^{2}}}};$

$f'(x_{1})=f'(6)=y'|_{x=6}={\frac {4-6}{\sqrt {8\cdot 6-6^{2}}}}={\frac {-2}{\sqrt {48-36}}}=-{\frac {2}{\sqrt {12}}}=-{\frac {2}{2{\sqrt {3}}}}=-{\frac {1}{\sqrt {3}}};$

$y-2{\sqrt {3}}=-{\frac {1}{\sqrt {3}}}(x-6);$

$y=-{\frac {1}{\sqrt {3}}}x+{\frac {6}{\sqrt {3}}}+2{\sqrt {3}}=-{\frac {1}{\sqrt {3}}}x+{\frac {6+2\cdot {\sqrt {3}}\cdot {\sqrt {3}}}{\sqrt {3}}}=-{\frac {1}{\sqrt {3}}}x+{\frac {6+2\cdot 3}{\sqrt {3}}}=-{\frac {1}{\sqrt {3}}}x+{\frac {12}{\sqrt {3}}}.$

Randame kampą $\phi$ tarp apskritimo liestinės ir Ox ašies:

$\tan \phi =k=-{\frac {1}{\sqrt {3}}};$

$\phi =\arctan(-{\frac {1}{\sqrt {3}}})=-{\frac {\pi }{6}}=-0.523598775$ arba $\phi =-30^{\circ }.$ Reiškia, kad kampas $\phi =120^{\circ }$ arba $\phi ={\frac {\pi }{2}}+{\frac {\pi }{6}}={\frac {3\pi +\pi }{6}}={\frac {4\pi }{6}}={\frac {2\pi }{3}}=2,094395102$ radiano.

Vektorius ${\vec {MO}}=\{6-0;\;2{\sqrt {3}}-0\}=\{6;\;2{\sqrt {3}}\}=\{l;\;m\}$ yra spindulio-vektoriaus $\rho$ krypties vektorius taške $M(6;\;2{\sqrt {3}}).$

Kai yra žinomi du tiesės taškai $M(6;\;2{\sqrt {3}})$ ir O(0; 0), tada tiesės lygtis yra

${\frac {x-x_{0}}{l}}={\frac {y-y_{0}}{m}}$ arba ${\frac {x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}={\frac {y-y_{0}}{y_{1}-y_{0}}}$ arba ${\frac {x-x_{1}}{x_{1}-x_{0}}}={\frac {y-y_{1}}{y_{1}-y_{0}}}.$

Taigi, randame spindulio-vektoriaus $\rho$ tiesės krypties koeficientą $k_{\rho }$ taške M:

${\frac {x-x_{0}}{l}}={\frac {y-y_{0}}{m}};$

${\frac {x-0}{6}}={\frac {y-0}{2{\sqrt {3}}}};$

${\frac {2{\sqrt {3}}x}{6}}=y;$

$y={\frac {{\sqrt {3}}x}{3}}={\frac {x}{\sqrt {3}}};$

$k_{\rho }={\frac {1}{\sqrt {3}}}=\tan \theta .$

Randame kampą $\theta$ tarp spindulio-vektoriaus $\rho$ einančio per tašką M ir ašies Ox:

$\theta =\arctan k_{\rho }=\arctan {\frac {1}{\sqrt {3}}}={\frac {\pi }{6}}=0,523598775$ radiano arba 30 laipsnių.

Toliau randame kampą $\mu$, kurį sudaro apskritimo liestinė taške M su spinduliu-vektoriu $\rho$:

$\mu =\phi -\theta ={\frac {2\pi }{3}}-{\frac {\pi }{6}}={\frac {2\cdot 2\pi -\pi }{6}}={\frac {3\pi }{6}}={\frac {\pi }{2}};$

$\tan \mu =\tan(\phi -\theta )=\tan({\frac {2\pi }{3}}-{\frac {\pi }{6}})=\tan {\frac {2\cdot 2\pi -\pi }{6}}=\tan {\frac {3\pi }{6}}=\tan {\frac {\pi }{2}}={\frac {\sin {\frac {\pi }{2}}}{\cos {\frac {\pi }{2}}}}={\frac {1}{0}}={\text{error}}.$

Patikriname tapatumus:

$\rho =8\cos \theta =8\cos {\frac {\pi }{6}}=8\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}=6,92820323;$

$\rho '=-8\sin \theta =-8\sin {\frac {\pi }{6}}=-8\cdot {\frac {1}{2}}=-4;$

$\rho '_{\theta }={\frac {\rho }{\tan \mu }}.$

Negalime patikrinti, todėl, kad $\tan \mu =\tan {\frac {\pi }{2}}$ neegzistuoja. Nebent, jei parinkti $\mu ={\frac {\pi }{2}}-0,01=1,560796327.$ Tada:

$\rho '_{\theta }={\frac {\rho }{\tan \mu }}={\frac {8\cos {\frac {\pi }{6}}}{\tan(1,560796327)}}={\frac {6,92820323}{99,99666669}}=0,069284341.$

Ne tai ko tikėtasi tikrinant.