Atverti pagrindinį meniu

Antrojo tipo kreivinis integralas fizikoje reiškia jėgų lauko darbą.

Taip pat antrojo tipo kreivinį integralą galima paibrėžti erdvine kreive L:

Funkcijos išreikštos parametrinėmis lygtimisKeisti

Tarkime, kad kreivės L lanko AB parametrinės lygtis yra    lanko pradžios tašką A atitinka parametro t reikšme  , o lanko tašką B - reikšmė T. Dar sakykime, kad x(t), y(t) ir jų isvestinės x'(t), y'(t) yra dolydžios atkarpoje [ ; T] funkcijos,     - irgi tolydžios kreivės L taškuose funkcijos. Tuomet   Tas pats taikoma ir erdvinei kreivei:    

PavyzdžiaiKeisti

  • Apskaičiuokime   kai L - apskritimo     lankas nuo taško   iki taško  
Įrašę į apskritimo lygtis taškų A ir B koordinates, sužinome, kad tašką A atitinka parametro reikšmė, lygi   o taško B - reikšmė, lygi  

Randame:     Tuomet    

  • Apskaičiuosime integralą   kur AB - ketvirtis apskritimo       A Atitinka t=0, B atitinka  
Turime         Gauname

 

  • Apskaičiuosime integralą   palei atkarpą AB, jungiančią taškus A(1; 2; -1) ir B(3; 3; 2).
Lygtis tiesės AB:
 
 

arba parametrinėje formoje:       Atkarpai AB parametras t keičiasi nuo   iki   Todėl,    

Duotame pavyzdyje parametru galima parinkti bet kurį iš kintamųjų x, y arba z.

Pavyzdžiui, parinkę parametru y, užrašysime lygtį atkarpos AB formoje:

       

Pritaikydami auksčiau išvestą formulę gausime:      

  • Apskaičiuosime integralą   kur L - viena apvija spiralinės linijos cilindro paviršiumi       nuo   iki  
Randame:      

  Apskaičiuosime kiekvieną dalį atskirai.       kur           kur        

Todėl
 
  • Apskaičiuoti darbą jėgos   kai persikelia materialus taškas palei elipsę teigiama kryptimi, jeigu jėga kiekviename taške (x; y) elipso nukreipta į centrą elipso ir pagal dydį lygi atstumui nuo taško (x; y) iki centro elipsės.
Sprendimas. Pagal sąlygą,   koordinatės jėgos   tokios:   [ženklas " " paaiškinmas tuo, kad jėga nukreipta į tašką (0; 0)]. Pagal formulę   turime
  čia L - elipsė       Randame    . Todėl,
 
 
 
 
Pastebėsime, kad iš to, kad integralas pasirodė lygus nuliui, seka, kad pointegralinė išraiška yra pilnas diferencialas tam tikros funkcijos (raskite šią funkciją savarankiškai).

Apskaičiavimas kreivinių integralų antrojo tipoKeisti

Jei kreivė AB išreikšta lygtimi  ,   kur   - netruki diferencijuojama funkcija, tai   Analogiškai gali būti x(y).

PavyzdžiaiKeisti

  • Apskaičiuosime integralą:   palei lanką AB prabolės  , jei     Parinkę parametru x ir pakeitę   gausime:

   

  • Apskaičiuosime integralą   kur L - lankas prabolės   nuo taško A(0; 0) iki taško B(1; 3).
    Gauname:

 

 
Kvadratas.
  • Apskaičiuosime integralą   kur L - konturas stačiakampio, padaryto iš tiesių       ir  
Paveiksle teigiama kryptis apėjimo konturo L paženklinta rodyklėmis. Padalinę visą kontūrą integravimo į dalis, užrašysime:

  Lengva pastebėti, kad integralai palei dalis AB ir CD lygus nuliui, todėl, kad ant jų y yra pastovus ir, dėl to   Todėl lieka apskaičiuoti integralus pagal sritis BC ir DA. Pagal formulę [ vietoje x įrašę y ir vietoje y(x) įrašę x(y)], gauname     Takiu budu, galutinai turime  

 
Trikampis trimatėje erdvėje.
  • Apskaičiuosime integralą   pagal laužtę ABCA su viršūnėmis A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1).
Pagal apibrėžimą  

  nes kelias integravimo guli plokštumoje yOz, statmenoje ašiai Ox (todėl   ir   Lygtį atkarpos AB užrašysime pavidale:       Taip kaip     turime  

Lygtį atkarpos CA užrašysime pavidale:       Taip kaip     turime:

  Rezultate gauname:  

 
Parabolė.
  • Apskaičiuosime integralą   jeigu AOB - lankas prabolės   be to A(1; -1), B(1; 1). Atsižvelgiant į savybes kreivinių integralų, gausime:

  Kadangi lanko AO lygtis yra     be to     lankas OB turi lygtį         tai  

Šiame pavyzdyje paprasčiau naudoti parametrą y, pakeičiant atitinkamai formulę:

 

 
Integravimo keliai sutampa.
  • Apskaičiuosime integralą   kur:
a) AB - tiesė   sujungianti taškus (0; 0) ir (1; 1);
b) AB - parabolė y=x², sujungianti tuos pačius taškus (0; 0) ir (1; 1);
c) AB - laužtė, pereinanti per taškus (0; 0), (1; 0), (1; 1).
Pagal vieno iš kinamųjų pakeitimo formulę turime:
a)  

 

b)  
c)  

Vienodo atsakymo gavimas integruojant skirtingais keliais yra dėl to, kad

 
 
  • Apskaičiuokime integralą   nuo taško O(0; 0) iki taško A(1; 1), kai integravimo kelias L nusakomas lygtimi: a)   b)   c)  
a) Randame   Turime:

   

b) Kadangi   tai

 

c) Iš sąlygos   turime:     Tuomet

 

Šiuo atveju pavyzdį galėjome spręsti ir neišreikšdami kintąmąjį y kintamuoju x. Laikykime x funkcija, o y argumentu. Tuomet iš sąlygos   turime:   y kitimo rėžiai yra nuo 0 iki 1. Dabar duotąjį integralą pakeiskime apibrėžtiniu, įrašydami vietoje x ir dx jų išraiškas:

 

Visais triais atvejais integravimo pradžia ir pabaiga sutapo, tačiau integruodami galvome skirtingus atsakymus, nes
 
 
 
Prabolė, tiesė AB ir laužtė ACB.
  • Apskaičiuokime integralą

  nuo taško A(1; 1) iki taško B(2; 4), kai integravimo kelias L nusakomas:

a) tiesės   atkarpa;
b) parabolės   lanku;
c) laužte ACB.
a) Iš lygties   turime:   kitimo rėžiai yra nuo 1 iki 2. Tuomet

   

b) kai   tai   ir

 

c) Integravimo kelią suskaidysime į dvi atkarpas: AC ir CB. Atkarpos AC taškuose x kinta nuo 1 iki 2,   todėl kelio AC taškuose   atkarpos CB taškuose y kinta nuo 1 iki 4,   todėl kelio CB taškuose   Tuomet

     

Visais variantais gavome tokį patį kreivinio integralo atsakymą. Sakoma, kad krivinis integralas nepriklauso nuo integravimo kelio, o priklauso tik nuo integravimo kreivės pradžios ir pabaigos taškų. Taip yra todėl, kad
 

Sąlyga, kad kreivinio integralo reikšmė nepriklausytų nuo integravimo kelioKeisti

Kad integralas   nepriklausytų nuo integravimo kelio jis turi tenkint tokią lygybę:   arba  

Trimatis vektorius su dedamosiomis (projekcijomis koordinačių ašims)       išreiškiamas per integralą   nepriklauso nuo integravimo kelio, jei:  

 
Prabolė ir tiesė.
  • Apskaičiuosime, pavyzdžiui, integralą   pagal atkarpą tiesės AB, jungiančios taškus A(1; 0; 0) ir B(1; 1; 1). Lygtis tiesės AB:
 
 

t. y.       Išrinkę parametru y, turime:  

Apskaičiuosime dabar tą patį integralą pagal lanką prabolės AB, aprašamos lygtimis     Parinke parametru y (           ), gausime:

 

Šis pavyzdys parodo, kad integralo   reikšmė priklauso nuo formos kreivės pagal kurią vyksta integravimas. Taip yra todėl, nes

 

Taip pat skaitykiteKeisti