Atverti pagrindinį meniu

Rymano integralo savybėsKeisti

Rymano integralas pasižymi tokiomis savybėmis, kurias gana lengva suprasti, laikant integralą plotu.

  •   Stačiakampio, kurio viena kraštinė lygi 0, plotas lygus 0.
  • Jei  , tai  . T. y. integruojant iš dešinės į kairę, plotas laikomas neigiamu. Taip yra todėl, kad dydžiai   integralinėje sumoje yra neigiami.
  • Jei  , tai  . Plotus galima sudėti, jei jie nesikerta. Dėl praeitos savybės, taip sudėti galima net ir tada, kai   yra už intervalo galų, jei tik ten funkcija yra integruojama.
  • Jei   ir   yra integruojamos kažkokiame intervale, tai integruojama ir šių funkcijų sandauga  . Atvirkščias teiginys yra neteisingas.
  •  

SkaičiavimasKeisti

Skaičiuoti Rymano integralą naudojantis apibrėžimu ne visada įmanoma, be to, tai yra labai sudėtinga. Dažniausiai praktikoje naudojama Niutono-Leibnico formulė, kuri sieja neapibrėžtinį integralą su apibrėžtiniu, nors iš esmės tai yra visiškai skirtingi dalykai:

 

Čia   yra viena iš   pirmykščių funkcijų. Pavyzdžiui, rasime integralą  , t. y. plotą po parabolės šaka, apribota tiesėmis  :

Iš pradžių surandame:
 
Tada į šitą formulę įstatome a ir b reikšmes:
 
 

Tada atimame F(a) iš F(b):

 

Radome plotą esantį po dešine parabolės šaka, kuris apribotas, šiuo atveju, tik viena iš dešinės pusės statmena x ašiai tiese (kurios ilgis yra  ).

PavyzdžiaiKeisti

  •  

  kur             Apibrėžtinio integralo integravimas dalimis:  

  •   kur        
  • Apskaičiuosime 100 cm ilgio strypo masę, kai jo ilginis tankis    

 

  •   Keičiame     Kadangi  , kai   ir   kai   tai

 

 
Parabolės.
  • Apskaičiuosime figūros, apribotos kreivių   ir   plotą.
Pirmiausia turime rasti tų kreivių susikirtimo taškų abscises. Tuo tikslu sprendžiame lygtį   iš čia     Tuomet

 

 
Elipsė.
  • Apskaičiuokime figūros, apribotos elipse   plotą.
Apskaičiuokime plotą tos figūros dalies, kuri yra pirmajame ketvirtyje, po to gautą rezultatą padauginsime iš 4. Elipsės kanonine lygtį pakeičiame parametrinėmis lygtimis     Pirmajame ketvirtyje x kinta nuo 0 iki a, todėl t kinta nuo   iki 0 (tokias t reikšmes gavome, įrašę į lygtį   vietoje x jo reikšmes 0 ir a). Į formulę   vietoje y įrašykime   o vietoje   įrašykime   kadangi   Tuomet

   

  • Apskaičiuosime kūno, apriboto paraboloido   ir plokštumos  , tūrį.
Jei paraboloidą kirstume plokštuma   tai jo pjūvyje gautume elipsę

  kurios kanoninė lygtis   Tos elipsės pusašės lygios   Kadangi   (iš ankstesnio pavyzdžio), tai   Tuomet  

 
Plotas apribotas parabolės ir tiesės.
  • Apskaičiuosime plotą figūros, apribotos grafikais funkcijų   ir  
Rasime abscises taškų susikirtimo tiesės   su prabole   Išsprendę lygtį

        gauname     Tai ir yra integravimo ribos. Ieškomas figūros plotas pagal formulę toks:    

  • Tą patį plotą apribota parabole   ir tiese   apskaičiuosime paprastu budu. Surandame su x ašimi susikirtimo tašką parabolės       Surandame plotą po parabole kai  
 
Dabar surandame plotą po parabole nuo   iki  

 

Dabar iš pirmo ploto po parabole atimame trikampio plotą:
 
Apatinį (ieškomą) plotą trečiajame ketvirtyje gauname atėmę   iš trikampio ploto:
 
Susumavę viršutinį (virš ašies Ox) ieškomą plotą   ir apatinį (po ašimi Ox) ieškomą plotą   gauname visą ieškomą plotą apribotą parabolės ir tiesės:
 
 
10.16.
  • Pavyzdis. Skritulys, apribotas apskritimo   (a>b), sukamas apie ašį Ox (10.16 pav). Apskaičiuokime gauto sukinio, vadinamo toru, tūrį.
Sprendimas. Toro tūris lygus dviejų sukinių tūrių skirtumui: pirmasis sukinys gaunamas sukant kreivinę trapeciją ABCDE, o antrasis - trapeciją ABFDE. Išsprendžiame lygį   kintamojo y atžvilgiu:
 
 
 
Lanko BCD lygtis   o lanko BFD lygtis  
Tuomet toro tūris bus lygus
 
 
Pažymėkime:  ,  . Gausime:
 
 
Čia pasinaudojome dvigubu faktorialu.
Parinkime a=4, b=3. Tuomet
 
Patikrinsime ar gausime tą patį atsakymą pasinaudodami integralu lentele   Taigi, a=4, b=3. Tuomet
 
 
Internetinis integratorius duoda tokį integravimą http://integrals.wolfram.com/index.jsp?expr=%28b%5E2-x%5E2%29%5E%281%2F2%29&random=false .
Pasinaudodami trigonometrija išintegruokime be dvigubo faktorialo, taigi,     Todėl, kai a=4, b=3, turime: