Aptarimas:Šviesos laužimas

Pavyzdžio gale ne visko gal reikia

• Duotas trikampis, kurio taškai (viršūnės) yra A(3; 4; 5), B(10; 13; 17), C(2; 6; 1). Rasime vektorius AB ir AC.

AB={10-3; 13-4; 17-5}={7; 9; 12};

AC={2-3; 6-4; 1-5}={-1; 2; -4}.

Sudauginę vektorius AB ir AC vektorine vektorių sandauga (cross product) gausime vektorių inNormal (gausime trikampio normalės vektorių).

$\mathbf {n} =\mathbf {a} \times \mathbf {b} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}a_{2}&a_{3}\\b_{2}&b_{3}\end{vmatrix}}\mathbf {i} -{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}\\b_{1}&b_{3}\end{vmatrix}}\mathbf {j} +{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}\\b_{1}&b_{2}\end{vmatrix}}\mathbf {k} =$

$=\mathbf {i} a_{2}b_{3}+\mathbf {j} a_{3}b_{1}+\mathbf {k} a_{1}b_{2}-\mathbf {i} a_{3}b_{2}-\mathbf {j} a_{1}b_{3}-\mathbf {k} a_{2}b_{1}=$

$=\mathbf {i} (a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})+\mathbf {j} (a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3})+\mathbf {k} (a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})=$

$=(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2};a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3};a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})=$

$=\mathbf {inNormal} ={\vec {AB}}\times {\vec {AC}}={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\7&9&12\\-1&2&-4\\\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}9&12\\2&-4\end{vmatrix}}\mathbf {i} -{\begin{vmatrix}7&12\\-1&-4\end{vmatrix}}\mathbf {j} +{\begin{vmatrix}7&9\\-1&2\end{vmatrix}}\mathbf {k} =$

$=(9\cdot (-4)-2\cdot 12;\;-[7\cdot (-4)-(-1)\cdot 12];\;7\cdot 2-(-1)\cdot 9)=$

$=(-36-24;\;-[-28+12];\;14+9)=(-60;\;16;\;23).$

Vektorius viewVec yra viewVec={5; 8; 4}. Rasime vektorių g (vektorius g guli ant trikampio ABC plokštumos, nes vektorius inNormal yra status trikampio plokštumai).

g=cross(viewVec, inNormal)=

$=\mathbf {g} ={\vec {viewVec}}\times {\vec {inNormal}}={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\5&8&4\\-60&16&23\\\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}8&4\\16&23\end{vmatrix}}\mathbf {i} -{\begin{vmatrix}5&4\\-60&23\end{vmatrix}}\mathbf {j} +{\begin{vmatrix}5&8\\-60&16\end{vmatrix}}\mathbf {k} =$

$=(8\cdot 23-16\cdot 4;\;-[5\cdot 23-(-60)\cdot 4];\;5\cdot 16-(-60)\cdot 8)=$

$=(184-64;\;-[115+240];\;80+480)=(120;\;-355;\;560).$

Suprastinus vektorius g lygus g={24; -71; 112}.

Toliau rasime vektorių y.

y=cross(g, inNormal)=

$=\mathbf {y} ={\vec {g}}\times {\vec {inNormal}}={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\24&-71&112\\-60&16&23\\\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}-71&112\\16&23\end{vmatrix}}\mathbf {i} -{\begin{vmatrix}24&112\\-60&23\end{vmatrix}}\mathbf {j} +{\begin{vmatrix}24&-71\\-60&16\end{vmatrix}}\mathbf {k} =$

$=(-71\cdot 23-16\cdot 112;\;-[24\cdot 23-(-60)\cdot 112];\;24\cdot 16-(-60)\cdot (-71))=$

$=(-1633-1792;\;-[552+6720];\;384-4260)=(-3425;\;-7272;\;-3876).$

Net iš normalizuotų vektorių vektorinė vektorių sandauga neduoda normalizuoto vektoriaus (jei duoti normalizuoti vektoriai a={0.8; 0.6; 0} ir b={-0.8; 0.6; 0}, tai z koordinatė vektoriaus c=cross(a, b) lygi k(0.8*0.6-(-0.8)*0.6)=k(0.48+0.48)=0.96 k, kas ne lygu 1 k). Todėl reikia normalizuoti vektorių y.

Normalizuosime vektorių viewVec={5; 8; 4}.

$\|viewVec\|={\sqrt {5^{2}+8^{2}+4^{2}}}={\sqrt {25+64+16}}={\sqrt {105}}=10.246950766;$

${\vec {viewVec}}=\{{\frac {5}{10.24695}};\;{\frac {8}{10.24695}};\;{\frac {4}{10.24695}}\}=\{0.4879500;\;0.78072006;\;0.39036003\}.$

Toliau normalizuosime vektorių inNormal={-60; 16; 23}.

$\|inNormal\|={\sqrt {(-60)^{2}+16^{2}+23^{2}}}={\sqrt {3600+256+529}}={\sqrt {4385}}=66.21933252457;$

${\vec {inNormal}}=\{{\frac {-60}{66.2193325}};\;{\frac {16}{66.2193325}};\;{\frac {23}{66.2193325}}\}=\{-0.9060798065;\;0.2416212817;\;0.34733059\}.$

Padarę skaliarinę vektorių sandaugą gausimę kosinusą kampo tarp vektoriaus viewVec ir vektoriaus inNormal.

cosine = dot(viewVec, inNormal)=

$=cosine=\mathbf {viewVec} \cdot \mathbf {inNormal} =0.4879500\cdot (-0.9060798065)+0.78072006\cdot 0.2416212817+0.39036003\cdot 0.34733059=$

$=-0,44212164158+0,188638581546+0,13558398=-0,117899080034.$

Randame sinusą

sine = sqrt(1 - cosine * cosine) =

$={\sqrt {1-(-0,117899080034)^{2}}}={\sqrt {1-0,01390019307}}=0,986099806927$

Jei kampas tarp dviejų vektorių 0 laipsnių, tai kosinusas lygus 1, o sinusas lygus 0. O jei kampas tarp dviejų vektorių lygus 90 laipsnių, tai kosinusas lygus 0, o sinusas lygus 1.

Funkcija saturate(x) yra ekvivalenti funkcijai clamp(0, 1, x). Funkcija clamp(0, 1, x) duoda reikšmes tik nuo 0 iki 1. Jei x daugiau už 1, tada vis tiek funkcija clamp(0, 1, x) grąžins 1.

Ir jeigu x mažiau už 0, tai vis tiek bus 0. Funkcija saturate duoda reikšmes intervale nuo 0 iki 1. O didesnias arba mažesnes reikšmes paverčia į 1 arba 0.

// Note that the saturate(x) function is equivalent to
// using clamp(0,1,x).

Jei šitą kodą

float3 x = -inNormal;
float3 y = normalize(cross(cross(viewVec, inNormal), inNormal));
Out.Refract = x * cosine2 + y * sine2;

pakeisti tokiu kodu

float3 x = -inNormal;
float3 y = normalize(cross(cross(viewVec, inNormal), inNormal));
Out.Refract = x * cosine + y * sine;

tai tada bus gautas viewVec arba -viewVec vektorius (sunku pasakyti ar reikalingas minusas ar ne). Tai yra

\\ Out.Refract = x * cosine + y * sine = viewVec

arba

\\ Out.Refract = x * cosine + y * sine = -viewVec

Vektorius x = -inNormal. O vektorius y yra projekcija vektoriaus viewVec (arba vektoriaus -viewVec, neaišku ar reikia to minuso) ant trikampio plokštumos.

Normalizuosime vektorių $y=(-3425;\;-7272;\;-3876).$

$\|y\|={\sqrt {(-3425)^{2}+(-7272)^{2}+(-3876)^{2}}}={\sqrt {11730625+52881984+15023376}}={\sqrt {79635985}}=8923,899652058;$

${\vec {y}}=\{{\frac {-3425}{\sqrt {79635985}}};\;{\frac {-7272}{\sqrt {79635985}}};\;{\frac {-3876}{\sqrt {79635985}}}\}=\{-0,383800819545;\;-0,8148903824;\;-0,434339263229\}.$

Galimas dalykas, kad "Out.Refract" vektorių reikia normalizuoti. Nes jei viewVec normalizuotas, tai tuomet ir Refract vektorius turėtų būti normalizuotas (sudėjus du normalizuotus vektorius negaunamas normalizuotas vektorius, kaip pavyzdžiui {1; 0}+{0; 1}={1; 1}, o ne {0,7071; 0,7071}). Paskutines kodo eilutes galima būtų perrašyt taip:

float3 x = -inNormal;
float3 y = normalize(cross(cross(viewVec, inNormal), inNormal));
Out.Refract = normalize(x * cosine2 + y * sine2);

Bet turbut nereikia normalizuoti Refract vektoriaus, nes tam skirti cosine2 ir sine2, kad subalansuotų vektorių x ir y ilgius. Kiek sutrumpėja kiekvienos koordinatės vektoriaus ilgis, tiek procentų sutrumpėja ir bendras vektoriaus ilgis. Jeigu, pavyzdžiui, vienetinio vektorius a={0.7071; 07071} ilgis ||a||=1, tai padaugintas iš 0.7071 bus 0.5, o jo ilgis bus $||a||/2=0.5^{2}+0.5^{2}=0.25+0.25=0.5.$ Iš to matosi, kad jeigu sine=0.7071, o cosine=0.7071, tai padaugintas vektorius a iš, tarkim, cosine sutrumpės per puse (kaip ir kiekviena jo koordinatė).

Jei duotas vektorius a={0.7071; 07071} ilgio ||a||=1, tai padaugintas iš kosinuso 0.7071 (kai sinusas irgi 0.7071) vektoriaus a ilgis turėtų būti kosinusas (0,7071). Bet taip nėra, o vektoriaus ilgis tampa a=0.5, nes tada a vektorius tampa A={0.7071; 07071}*0.7071={0.5; 0.5}. Ilgis vektoriaus A apskaičiuojamas $||A||={\sqrt {0.5^{2}+0.5^{2}}}={\sqrt {0.25+0.25}}={\sqrt {0.5}}=0.7071.$ Pasirodo pamiršta ištraukti šaknį.

Vektoriai x=-inNormal ir y=normalize(cross(cross(viewVec, inNormal), inNormal)) vienas kitam stati. Jei cosine=0.7071 ir sine=0.7071. O vektorius x={0.7071; 0.7071} ir y={-0.7071; 0.7071}. Tai padauginus x ish cosine ir y ish sine gausime x={0.5; 0.5} ir y={-0.5; 0.5}. O sud4jus x ir y gausime {0; 1}. Gavome normalizuotą vektorių ({0; 1)).