Aptarimas:Matematika/Antrosios eilės tiesinės nehomogeninės diferencialinės lygtys

Pridėti diskusiją
Aktyvios diskusijos

Neveikia taip kaip b)Keisti

  • Išspręskime lygtį
 
kai: a)   b)  
Sprendimas. Pirmiausia išspręskime lygtį   Kadangi charakteringoji lygtis   turi 6aknis   ir   tai homogeninės lygties ( ) bendrasis sprendinys
 
Toliau, atsižvelgdami į dešiniosios pusės išraišką, parinksime atskirąjį nehomogeninės lygties sprendinį.
a) Kai   tai daugianaris   (jis yra antrojo laipsnio) ir   Kadangi   nesutampa nė su viena charakteringosios lygties šaknimi, tai, pagal (50) formulę,
 
(daugianaris   nes jis turi būti antrojo laipsnio; beje, pirmojo laipsnio daugianaris yra   trečiojo laipsnio   ir t.t.).
Toliau randame:
 
 
 
Įrašę   išraiškas į duotąją lygtį gauname tapatybę:
 
 
 
 
Sulyginę koeficientus prie vienodų x laipsnių, gauname sistemą
 
 
 
Iš jos randame:   Todėl   ir bendrasis duotosios lygties sprendinys
 
b) Kai   tai   Kadangi   yra pirmojo laipsnio daugianaris, tai   sutampa su charakteringosios lygties šaknimi, todėl, pagal (52) formulę,
 
Toliau sprendžiama analogiškai a) atvejui.
 
 
 
Iš sistemos randame:   Todėl   Bendrasis duotosios lygties ( ) sprendinys yra
 
Patikriname:
 
 
 
 
 
 

Neteisingas sprendimasKeisti

  • Išspręskime lygtį
 
Sprendimas. Pirmiausia išspręskime lygtį   Kadangi charakteringoji lygtis   turi šaknis   ir   tai homogeninės lygties bendrasis sprendinys
 
Toliau, atsižvelgdami į dešiniosios pusės išraišką, parinksime atskirąjį nehomogeninės lygties sprendinį.
Kai   tai   Kadangi   yra pirmojo laipsnio daugianaris, tai   sutampa su charakteringosios lygties šaknimis, todėl, pagal (53) formulę,
 
Randame išvestines:
 
 
 
 
Įrašę   išraiškas į duotąją lygtį gauname tapatybę:
 
 
 
 
Sulyginę koeficientus prie vienodų x laipsnių, gauname sistemą
 
 
 
 
Iš sistemos randame:   Todėl   Bendrasis duotosios lygties ( ) sprendinys yra
 
Patikriname:
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


Neteisingas sprendimas 2Keisti

  • Išspręskime lygtį
 
Sprendimas. Pirmiausia išspręskime lygtį   Kadangi charakteringoji lygtis   turi šaknis   ir   tai homogeninės lygties bendrasis sprendinys
 
Toliau, atsižvelgdami į dešiniosios pusės išraišką, parinksime atskirąjį nehomogeninės lygties sprendinį.
Kai   tai   Kadangi   yra pirmojo laipsnio daugianaris, tai   sutampa su charakteringosios lygties šaknimis, todėl, pagal (53) formulę,
 
Randame išvestines:
 
 
Įrašę   išraiškas į duotąją lygtį gauname tapatybę:
 
 
 
 
Sulyginę koeficientus prie vienodų x laipsnių, gauname sistemą
 
 
Iš sistemos randame:   Todėl   Bendrasis duotosios lygties ( ) sprendinys yra
 
Patikriname:
 
 
 
 
 
 

Neteisingas sprendimas 3Keisti

  • Išspręskime lygtį
 
Sprendimas. Pirmiausia išspręskime lygtį   Kadangi charakteringoji lygtis   turi šaknis   ir   tai homogeninės lygties bendrasis sprendinys
 
Toliau, atsižvelgdami į dešiniosios pusės išraišką, parinksime atskirąjį nehomogeninės lygties sprendinį.
Kai   tai   Kadangi   yra pirmojo laipsnio daugianaris, tai   sutampa su charakteringosios lygties šaknimis, todėl, pagal (53) formulę,
 
Randame išvestines:
 
 
Įrašę   išraiškas į duotąją lygtį gauname tapatybę:
 
 
 
 
Sulyginę koeficientus prie vienodų x laipsnių, gauname sistemą
 
 
Iš sistemos randame:   Todėl   Bendrasis duotosios lygties ( ) sprendinys yra
 
Patikriname:
 
 
 
 
 
 
 
 

Neteisingas sprendimas 4Keisti

  • Išspręskime lygtį
 
Sprendimas. Pirmiausia išspręskime lygtį   Kadangi charakteringoji lygtis   turi šaknis   ir   tai homogeninės lygties bendrasis sprendinys
 
Toliau, atsižvelgdami į dešiniosios pusės išraišką, parinksime atskirąjį nehomogeninės lygties sprendinį.
Kai   tai   Kadangi   yra nulinio laipsnio daugianaris, tai   sutampa su charakteringosios lygties šaknimis, todėl, pagal (53) formulę,
 
Randame išvestines:
 
 
Įrašę   išraiškas į duotąją lygtį gauname tapatybę:
 
 
 
 
Sulyginę koeficientus prie vienodų x laipsnių, gauname
 
Iš sistemos randame:   Todėl   Bendrasis duotosios lygties sprendinys yra
 
Patikriname:
 
 
 
 
 
 

Neteisingas sprendimas 5Keisti

  • Išspręskime lygtį
 
Sprendimas. Pirmiausia išspręskime lygtį   Kadangi charakteringoji lygtis   turi šaknis   ir   tai homogeninės lygties bendrasis sprendinys
 
Toliau, atsižvelgdami į dešiniosios pusės išraišką, parinksime atskirąjį nehomogeninės lygties sprendinį.
Kai   tai   Kadangi   yra pirmojo laipsnio daugianaris, tai   sutampa su charakteringosios lygties šaknimis, todėl, pagal (53) formulę,
 
Randame išvestines:
 
 
Įrašę   išraiškas į duotąją lygtį gauname tapatybę:
 
 
 
 
Sulyginę koeficientus prie vienodų x laipsnių, gauname sistemą
 
 
Iš sistemos randame:   Todėl   Bendrasis duotosios lygties ( ) sprendinys yra
 
Patikriname:
 
 
 
 
 
 
 
 

Problemos su a) variantu, nes lygtis yra Keisti

  • Išspręskime lygtį
 
kai: a)   b)  
Sprendimas. Kadangi charakteringoji lygtis   turi šaknis   tai homogeninės lygties   bendrasis sprendinys  
a) Kai   tai dešinioji lygties pusė turi išraišką  
Kadangi šį kartą   yra pirmojo laipsnio daugianaris, o   nesutampa su charakteringosios lygties šaknimi (nesvarbu, kad   sutampa su šaknų   realiąja dalimi), tai sprendinio   išraišką nusako (50) formulė. Taigi
 
Randame išvestines:
 
 
Įrašę   išraiškas į duotąją lygtį gauname tapatybę:
 
 
 
 
Sulyginę koeficientus prie vienodų x laipsnių, gauname sistemą
 
 
Iš sistemos randame:   Todėl   Bendrasis duotosios lygties sprendinys yra
 
Patikriname:
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Neteisingai surastos išvestinės (paskutiniame pavyzdyje)Keisti

  • Išspręskime lygtį
 
Sprendimas. Kad rasti homogeninės lygties   sprendinį, į homogeninę lygtį įstatome   ir gauname:
 
 
 
Kadangi charakteringoji lygtis   turi šaknis   tai homogeninės lygties   bendrasis sprendinys  
Kai   tai dešinioji lygties pusė turi išraišką  
Kadangi   yra pirmojo laipsnio daugianaris, o   nesutampa su charakteringosios lygties šaknimi, tai sprendinio   išraišką nusako (50) formulė. Taigi
 
Randame išvestines:
 
 
Įrašę   išraiškas į duotąją lygtį gauname tapatybę:
 
 
 
 
Sulyginę koeficientus prie vienodų x laipsnių, gauname sistemą
 
 
Iš sistemos randame:   Todėl   Bendrasis duotosios lygties sprendinys yra
 
Patikriname:
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Grįžti į "Matematika/Antrosios eilės tiesinės nehomogeninės diferencialinės lygtys" puslapį.