Atverti pagrindinį meniu

Matematika/Antrosios eilės tiesinės nehomogeninės diferencialinės lygtys

Nagrinėsime tiesinę nehomogeninę diferencialinę lygtį
Į klausimą, kokia yra šios lygties bendrojo sprendinio strukutūra, atsako tokia teorema.
Teorema. Jei yra bendrasis homogeninės lygties
sprendinys, - kuris nors atskirasis (39) nehomogeninės lygties sprendinys, tai (39) lygties bendrasis sprendinys yra
Įrodymas. Pirmiausia įrodysime, kad reiškinys yra (39) lygties sprendinys. Kadangi - (40) lygties sprendinys, o - (39) lygties sprendinys, tai jie turi tenkinti atitinkamas lygtis, todėl
Sudėję šias lygybes ir pritaikę išvestinių savybes, gauname
Ši lygybė rodo, kad yra (39) lygties sprendinys.
Dar kartą akcentuojame: norint išspręsti tiesinę nehomogeninę diferencialinę lygtį, reikia rasti ją atitinkančios homogeninės lygties bendrąjį sprendinį ir bet kurį atskirąjį nehomogeninės lygties sprendinį.

Konstantų variacijos metodasKeisti

Jau išsiaiškinome, kaip galima rasti tiesinės homogeninės lygties bendrąjį sprendinį   Taip pat įrodėme, kad pridėję prie   bet kurį atskirąjį tiesinės nehomogeninės lygties sprendinį   gauname bendrąjį nehomogeninės lygties sprendinį. Dabar išnagrinėsime   radimo būdą.
Tarkime, kad   ir   - antrosios eilės (40) homogeninės lygties atskirųjų sprendinių fundamentalioji sistema. Tuomet šios lygties bendrasis sprendinys yra
 
Nehomogeninės lygties, nusakomos (39) formule, atskirojo sprendinio ieškosime tardami, kad jį galima užrašyti tokiu pat reiškiniu, kaip ir (41) sprendinį, tačiau vietoj   ir   įrašysime kol kas nežinomas funkcijas   ir   (konstantas pakeisime funkcijomis). Taigi mūsų tikslas - rasti funkcijas   ir   be to, tokias, su kuriomis reiškinys
 
būtų (39) lygties sprendinys. Išdiferencijuokime (42) lygybę:
 
  ir   parinkime tokias, kad būtų
 
Tuomet
 
Išdiferencijuokime šį reiškinį:
 
  ir   išraiškas, apibrėžiamas atitinkamai (42), (44) ir (45) lygybe, irašykime į (39) lygtį:
 
Pertvarkę turime:
 
Kadangi   ir   - homogeninės lygties ( ) sprendiniai, tai suskliausti reiškiniai lygūs nuliui. Iš (46) lygybės gauname:
 
 
Vadinasi, (42) reiškinys yra (39) lygties sprendinys, kai funkcijos   ir   tenkina (43) ir (47) sąlygas.
Taigi gauname dviejų lygčių su dviem nežinomaisiais   sistemą
 
Kadangi tos sistemos determinantas yra Vronskio determinantas, sudarytas iš tiesiškai nepriklausomų sprendinių   ir   tai jis nelygus nuliui. Todėl iš (48) sistemos galima rasti vieninteles funkcijas   ir  
(48) sistemos sprendinį pažymėkime taip:
 
Tuomet   ir   rasime integruodami:
 
 
čia   ir   - konstantos.
Taigi (39) lygties atskirasis sprendinys yra (pagal (42))
 
o bendrasis sprendinys
 
Arba, kas visiškai tas pats:
 

PavyzdžiaiKeisti

  • Išspręskime lygtį
 
Sprendimas. Charakteringoji lygtis   turi šaknis   Todėl bendrasis homogeninės lygties   sprendinys   Remdamiesi (48) lygčių sistema, sudarome sistemą
 
Pirmosios lygties abi puses padauginę iš   o antrosios - iš   bei sudėję lygtis panariui, gauname lygtį
 
 
iš čia
 
Tuomet iš sistemos pirmosios lygties turime:
 
 
 
Vadinasi,
 
 
Taigi duotosios lygties atskirasis sprendinys
 
 
o bendrasis sprendinys
 

Antrosios eilės tiesinės nehomogeninės diferencialinės lygties atskirojo sprendinio parinkimo metodas (I.)Keisti

Nagrinėkime lygtį
 
kurios koeficientai   ir   yra pastovūs, o dešinioji pusė gali įgyti tam tikras išraiškas.
Tarkime, kad   yra daugianario ir rodiklinės funkcijos sandauga:
 
čia   - n-tojo laipsnio daugianaris,   - realusis skaičius.
Atskirojo sprendinio   ieškosime tardami, kad jis irgi yra n-tojo laipsnio daugianaris   su neapibrėžtais koeficientais ir rodiklinės funkcijos sandauga:
 
Kadangi   apibrėžtas (50) formule, yra (49) lygties atskirasis sprendinys, tai jis turi tikti tai lygčiai. Randame   ir  
 
 
Įrašę jas į (49) lygtį, gauname tapatybę
 
Ją pertvarkę ir suprastinę iš   turime:
 
1. Kai   nesutampa su charakteringosios lygties   šaknimi, tai   (ir  ) ir kairiojoje lygybės pusėje, kaip ir dešiniojoje , yra n-tojo laipsnio daugianaris. Sulyginę koeficientus prie vienodų x laipsnių, galime rasti daugianario   koeficientus.
2. Kai   sutampa su viena nekartotine charakteringosios lygties ( ) šaknimi, tai   bet   Kadangi   yra  -ojo laipsnio daugianaris, tai (51) lygybė negali būti tapatybė. Todėl, parinkdami atskirąjį sprendinį   turime imti  -ojo laipsnio daugianarį, tiesa, be laisvojo nario, nes diferencijuojant jis ir taip dingsta. Šį kartą
 
(Pagal sąlygą kairė pusė turi būti tokio pačio laipsnio kaip ir   bet prie   gavome koeficientą nulį, nes  , todėl kad kairėje pusėje gauti   padauginome  x.)
3. Kai   sutampa su kartotine charakteringosios lygties ( ) šaknimi, tai   Kadangi pagal Vieto teoremą,
 
tai ir   yra  -ojo laipsnio daugianaris, todėl (51) lygybės kairiojoje pusėje yra  -ojo laipsnio daugianaris ( ). Vadinasi, (51) lygybė negali būti tapatybė. Šį kartą turime parinkti
 

PavyzdžiaiKeisti

  • Išspręskime lygtį
 
kai: a)   b)  
Sprendimas. Pirmiausia išspręskime lygtį   Kadangi charakteringoji lygtis   turi šaknis   ir   tai homogeninės lygties ( ) bendrasis sprendinys
 
Toliau, atsižvelgdami į dešiniosios pusės išraišką, parinksime atskirąjį nehomogeninės lygties sprendinį.
a) Kai   tai daugianaris   (jis yra antrojo laipsnio) ir   Kadangi   nesutampa nė su viena charakteringosios lygties šaknimi, tai, pagal (50) formulę,
 
(daugianaris   nes jis turi būti antrojo laipsnio; beje, pirmojo laipsnio daugianaris yra   trečiojo laipsnio   ir t.t.).
Toliau randame:
 
 
 
Įrašę   išraiškas į duotąją lygtį gauname tapatybę:
 
 
 
 
Sulyginę koeficientus prie vienodų x laipsnių, gauname sistemą
 
 
 
Iš jos randame:   Todėl   ir bendrasis duotosios lygties sprendinys
 
b) Kai   tai   Kadangi   yra pirmojo laipsnio daugianaris, tai   sutampa su charakteringosios lygties šaknimi, todėl, pagal (52) formulę,
 
Toliau sprendžiama analogiškai a) atvejui.
Randame išvestines:
 
 
 
 
Įrašę   išraiškas į duotąją lygtį gauname tapatybę:
 
 
 
 
Sulyginę koeficientus prie vienodų x laipsnių, gauname sistemą
 
 
 
Iš sistemos randame:   Todėl   Bendrasis duotosios lygties ( ) sprendinys yra
 


  • Išspręskime lygtį
 
Sprendimas. Pirmiausia išspręskime lygtį   Kadangi charakteringoji lygtis   turi šaknis   ir   tai homogeninės lygties bendrasis sprendinys
 
Toliau, atsižvelgdami į dešiniosios pusės išraišką, parinksime atskirąjį nehomogeninės lygties sprendinį.
Kai   tai   Kadangi   yra nulinio laipsnio daugianaris, tai   sutampa su charakteringosios lygties šaknimis, todėl, pagal (53) formulę,
 
Randame išvestines:
 
 
Įrašę   išraiškas į duotąją lygtį gauname tapatybę:
 
 
 
 
Sulyginę koeficientus prie vienodų x laipsnių, gauname sistemą
 
 
Iš sistemos randame:   Todėl   Bendrasis duotosios lygties sprendinys yra
 
Patikriname:
 
 
 
 
 
 
 
 


  • Išspręskime lygtį
 
Sprendimas. Pirmiausia išspręskime lygtį   Kadangi charakteringoji lygtis   turi šaknis   ir   tai homogeninės lygties bendrasis sprendinys
 
Toliau, atsižvelgdami į dešiniosios pusės išraišką, parinksime atskirąjį nehomogeninės lygties sprendinį.
Kai   tai   Kadangi   yra nulinio laipsnio daugianaris, tai   sutampa su charakteringosios lygties šaknimis, todėl, pagal (53) formulę,
 
Randame išvestines:
 
 
Įrašę   išraiškas į duotąją lygtį gauname tapatybę:
 
 
 
 
Sulyginę koeficientus prie vienodų x laipsnių, gauname
 
Iš sistemos randame:   Todėl   Bendrasis duotosios lygties ( ) sprendinys yra
 
Patikriname:
 
 
 
 
 
 
 
 

Antrosios eilės tiesinės nehomogeninės diferencialinės lygties atskirojo sprendinio parinkimo metodas (II.)Keisti

Tarkime, kad
 
čia   ir   - atitinkamai n-tojo ir m-tojo laipsnio daugianariai,   - realieji skaičiai. Pažymėkime   (jei m>n, tada l=m; jei m<n, tada l=n).


1. Kai   nėra charakteringosios lygties šaknis, tai atskirąjį (49) lygties sprendinį rasime pagal formulę
 
čia   - l-tojo laipsnio daugianariai su neapibrėžtais koeficientais.


2. Kai   sutampa su charakteringosios lygties ( ) šaknimi, tai atskirasis sprendinys gaunamas iš (54) formulės, padauginus dešiniąją jos pusę iš x. Taigi
 
Paminėsime, kad ir tuo atveju, kai funkcija   sudaro tik vienas dėmuo   arba   atskirasis sprendinys   nusakomas (54) arba (55) formule (taigi jį sudaro du dėmenys).

PavyzdžiaiKeisti

  • Išspręskime lygtį
 
Sprendimas. Kadangi charakteringoji lygtis   turi šaknis   tai
 
Šiame pavyzdyje   taigi dydis   nesutampa su charakteringosios lygties šaknimi. Todėl, ieškodami   taikysime (54) formulę. Kadangi prie   yra pastovus daugiklis 3 ( ), tai vietoj daugianarių   ir   rašysime nežinomus skaičius M ir N. Taigi
 
Randame:
 
 
Įrašę     ir   išraiškas į duotąją lygtį, gauname tapatybę
 
 
 
 
Sulyginę koeficientus prie   ir   gauname dvi lygtis:
 
Padaugine antrą lygtį iš dviejų ir pridėję prie pirmos gauname:
 
 
 
 
 
 
 
Ši sistema turi sprendinį  
Taigi
 
o bendrasis duotosios lygties ( ) sprendinys
 


  • Išspręskime lygtį
 
kai: a)   b)  
Sprendimas. Kadangi charakteringoji lygtis   turi šaknis   tai homogeninės lygties   bendrasis sprendinys  
a) Kai   tai dešinioji lygties pusė turi išraišką  
Kadangi šį kartą   yra pirmojo laipsnio daugianaris, o   nesutampa su charakteringosios lygties šaknimi (nesvarbu, kad   sutampa su šaknų   realiąja dalimi), tai sprendinio   išraišką nusako (50) formulė. Taigi
 
Randame išvestines:
 
 
Įrašę   išraiškas į duotąją lygtį gauname tapatybę:
 
 
 
 
Sulyginę koeficientus prie vienodų x laipsnių, gauname sistemą
 
 
Iš sistemos randame:   Todėl   Bendrasis duotosios lygties sprendinys yra
 
b) Kai   tai dešinioji lygties pusė turi išraišką, apibrėžiamą formule   Šį kartą   ir dydis   sutampa su charakteringosios lygties šaknimi, todėl atskirojo sprendinio   išraišką nusako (55) formulė. Taigi
 
Randame:
 
 
 
 
 
 
 
 
Įrašę   ir   išraiškas į duotąją lygtį, sutraukę panašiuosius narius ir suprastinę iš   gauname tapatybę
 
 
 
 
 
 
 
Iš čia
 
todėl
  Taigi
 
o bendrasis duotosios lygties sprendinys
 


  • Išspręskime lygtį
 
Sprendimas. Kad rasti homogeninės lygties   sprendinį, į homogeninę lygtį įstatome   ir gauname:
 
 
 
Kadangi charakteringoji lygtis   turi šaknis   tai homogeninės lygties   bendrasis sprendinys  
Kai   tai dešinioji lygties pusė turi išraišką  
Kadangi   yra pirmojo laipsnio daugianaris, o   nesutampa su charakteringosios lygties šaknimi, tai sprendinio   išraišką nusako (50) formulė. Taigi
 
Randame išvestines:
 
 
Įrašę   išraiškas į duotąją lygtį gauname tapatybę:
 
 
 
 
Sulyginę koeficientus prie vienodų x laipsnių, gauname sistemą
 
 
Iš sistemos randame:   Todėl   Bendrasis duotosios lygties sprendinys yra
 

NuorodosKeisti