Aptarimas:Matematika/Lopitalio taisyklė

Mokinys iš licėjaus prieš Lopitalį

Arba kitaip: algebra prieš diferencialinį skaičiavimą. Panagrinėsime truputi Olimpiadinį ribos pavyzdį ir palyginsime jo skaičiavimą su skaičiavimu taikant Lopitalio taisyklę.

• Reikia surasti ribą

$\lim _{x\to 2}{\frac {x^{3}+x-10}{x^{2}+x-6}}=({\frac {0}{0}}).$

Išskaidysime skaitiklį ir vardiklį dauginamaisiais.

Skaitiklio išskaidymui pasinaudosime formule $a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2}).$ Tada

$x^{3}+x-10=(x^{3}-8)+(x-2)=(x-2)(x^{2}+2x+4)+(x-2)=(x-2)([x^{2}+2x+4]+1)=(x-2)(x^{2}+2x+5).$

Vardiklį išskaidysime pasinaudodami formule $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b).$ Tada gausime:

$x^{2}+x-6=(x^{2}-4)+(x-2)=(x-2)(x+2)+(x-2)=(x-2)([x+2]+1)=(x-2)(x+3).$

Dabar gauname

$\lim _{x\to 2}{\frac {x^{3}+x-10}{x^{2}+x-6}}=({\frac {0}{0}})=\lim _{x\to 2}{\frac {(x-2)(x^{2}+2x+5)}{(x-2)(x+3)}}=\lim _{x\to 2}{\frac {x^{2}+2x+5}{x+3}}=$

$={\frac {2^{2}+2\cdot 2+5}{2+3}}={\frac {2^{2}+2\cdot 2+5}{2+3}}={\frac {4+4+5}{5}}={\frac {13}{5}}.$

Pasirodo, kad truputi Olimpiadiniam (sunkiam) pavyzdyje buvo klaida ir skaityklis buvo $(x-2)(x+2x+5).$ Todėl ten atsakymas yra ne 13/5, o 11/5.

Apskaičiuosime šią ribą taikydami Lopitalio taisyklę:

$\lim _{x\to 2}{\frac {x^{3}+x-10}{x^{2}+x-6}}=({\frac {0}{0}})=\lim _{x\to 2}{\frac {(x^{3}+x-10)'}{(x^{2}+x-6)'}}=\lim _{x\to 2}{\frac {3x^{2}+1}{2x+1}}=$

$={\frac {3\cdot 2^{2}+1}{2\cdot 2+1}}={\frac {12+1}{4+1}}={\frac {13}{5}}.$

Abiais būdais skaičiuojant atsakymai sutampa.