Matematika/Lopitalio taisyklė
Lopitalio taisyklė (Liopitalio taisyklė) skirta riboms neapibrėžtumo atvejais skaičiuoti, pasiūlyta Gijomo Lopitalio (1661-1704).
Pagrindinė Lopitalio taisyklės esmė yra išvestinės taikymas skaitikliui ir vardikliui atskirai.
I. Neapibrėžtumai ir
- Teorema. Sakykime, kad
- 1)funkcijos f(x) ir g(x) apibrėžtos ir diferencijuojamos taško x=a aplinkoje;
- 2) arba
- 3) egzistuoja
- Tada
II. Neapibrėžtumas
Šio tipo neapibrėžtumą galima pakeisti neapibrėžtumu arba Iš tikrųjų, sakykime, kad
Kadangi
tai
ir gauname neapibrėžtumą Analogiškai galime gauti ir neapibrėžtumą
III. Neapibrėžtumas
- Jį galime pakeisti neapibrėžtumu Sakykime, kad ir Tada
Gavome neapibrėžtumą kurį skaičiuoti jau mokame.
IV. Neapibrėžtumai
- Šio tipo neapibrėžtumai pakeičiami neapibrėžtumu remianti tapatybe (f(x)>0):
Laipsnio rodiklyje turime neapibrėžtumą
PavyzdžiaiKeisti
- Apskaičiuosime (m>0). Neapibrėžtumas Taikome I taisyklę:
- Apskaičiuosime (m>0). Neapibrėžtumas Taikome II taisyklę:
- Apskaičiuosime Neapibrėžtumas Pertvarkome pagal III taisyklę ir paskui taikome du kartus I taisyklę:
- Kitaip:
- Apskaičiuosime Neapibrėžtumas
- Du kartus pritaikius Lopitalio taisyklę, apskaičiuojama ribinė reikšmė
- Tris kartus pritaikius Lopitalio taisyklę, apskaičiuojama ribinė reikšmė
- Kitaip:
- Taikėmė II taisyklę.
- Pritaikius Lopitalio taisyklę n kartų, apskaičiuojama ribinė reikšmė
- Sakykime, Tada
- Pritaikę Lopitalio taisyklę, gauname
- Iš to aišku, kad
Lopitalio taisyklės įrodymasKeisti
- Pirmiausia, kad įrodyti Lopitalio taisyklę reikia žinoti Lagranžo formulę ir Koši formulę.
- Lagranžo formulė yra tokia:
- čia yra vienintelė argumento reikšmė iš intervalo [a; b].
- Koši formulę galima gauti iš Lagranžo formulės. Tarkime, kad intervale [a; b] yra dvi tolydžios funkcijos f(x) ir g(x) ( intervale [a; b]), tada intervale [a; b] yra tokie taškai ir kad teisinga lygybė
- Atskirai funkcijai f(x) turime Lagranžo formulę:
- ir atskirai funkcijai g(x) turime Lagranžo formulę:
- Padalinus kairiąsias abiejų funkcijų puses vieną iš kitos ir padalinus abiejų funkcijų dešiniąsias puses gausime Koši formulę:
- (Iš tikro, Koši formulėje ir jos išvedimas yra ne iš Lagranžo formulės, bet įrodinėjant Lopitalio taisyklę galima naudotis ir tokia Koši-Paraboloido formule).
- Neapibrėžtumo aiškinimas. Sakome, kad dviejų funkcijų santykis kai yra neapibrėžtumas jei
- Kadangi ir lygūs 0, tai nagrinėkime tokį , kuris yra arti taško a ( yra taško a aplinkoje). Intervalas [a; ] tenkina Koši teoremos sąlygas. Pagal tą teoremą intervalo [a; ] viduje yra toks taškas (arba pagal Koši-Paraboloido formulę išvestą iš Lagranžo formulės yra tokie taškai ir atitinkamai funkcijoms f(x) ir g(x)), kad
- arba
- Atsižvelgę į tai, kad pagal papildomą apibrėžimą (8.25) lygybę galime užrašyti šitaip:
- arba
- Dabar tarkime, kad šioje lygybėje . Tada, savaime aišku, (arba ir ). Taigi,
- Neapibrėžtumo aiškinimas. Sakome, kad dviejų funkcijų santykis kai yra neapibrėžtumas kai
- (vietoj gali būti arba ).
- Taikydami Koši formulę segmentui (segmentu vadinamas uždaras intervalas aukšojoj matematikoje) [x; a], galime tvirtinti, jog jame yra toks taškas kad
- Iš čia
- Kai x artėja prie a, bet niekad nepriartėja (niekad netampa a), tai
- be kita ko, kai tai taip pat priartėja prie a, bet kokiu norimu tikslumu. Tokiu budu, gauname apytikslę formulę, bet kokiu norimu tikslumu tašką [apytiksliai] lygiu a, bet ne apsoliučiai lygiu a reikšmei. Todėl paskutinę formulę galime užrašyti šitaip:
- Profesionalesnis neapibrėžtumo aiškinimas. Tarkime, kad
- Sakykime, ir labai priarteja prie a (tad dėl šios priežasties yra labai mažas skaičius) ir tenkina sąlygą Be to keliomis eilėmis (kiek eilių daugiau galima pasirinkti) daugiau už o keliomis eilėmis daugiau už
- Taikydami Koši formulę segmentui galime tvirtinti, jog jame yra toks taškas kad
- Iš čia
- Kadangi pagal sąlygą keliomis eilėmis daugiau už ir keliomis eilėmis daugiau už tai galime užrašyti paskutinę formulę taip:
- Kai tai taškas esantis tarp ir irgi artėja prie a. Todėl
- Gali kilti natūralus klausimas: kas, jeigu skirtumas tarp ir labai mažas (kai ir artėja į a) ir be to tik vos daugiau nei (taip pat ir tik vos daugiau nei )?
- Atsakymas yra toks, kad tada formulėje
- nėra o yra kažkoks nesuderintas skaičius
- Todėl formulė
- bus teisinga [ir egzistuoja] tik tada, kai tenkinama sąlyga, kad keliomis eilėmis daugiau už ir keliomis eilėmis daugiau už
- Pavyzdys apie tai, kada Lopitalio taisyklė egzistuoja ir kada neegzistuoja. Tarkime turime funkciją Kai , tai Galimi du atvejai, kai ir artėja į 1: pirmas atvejis, kai tik vos skiriasi nuo antras atvejis, kai keliomis eilėmis skiriasi nuo
- Išnagrinėkime pirmąjį atvejį. Imkime ir . Tada
- Išnagrinėkime antrąjį atvejį. Imkime ir . Tada
- Matome, kad pirmuoju atveju formulė
- pavirsta į tokią
- kur C yra nemažas skaičius (gali gautis, priklausomai nuo g(x) funkcijos, apie 0.3 arba apie 3).
- Antruoju atveju formulė
- pavirsta į tokią
- kur c yra labai mažas skaičius (priklausomai nuo g(x) funkcijos, c gali gautis lygus apie 0.999 arba apie 1.001).
- Pirmuoju atveju Lopitalio taisyklė neegzistuoja. Antruoju atveju Lopitalio taisyklė egzistuoja (nes antruoju atveju Lopitalio taisyklės formulėje nėra jokios gana didelės konstantos C). Pirmuoju atveju gaunama tokia formulė:
- kuri nėra Lopitalio taisyklės formulė (dėl gana didelės konstantos C). Vadinasi, Lopitalio taisyklė neskaičiuoja pagal formulę, kai ir yra neapsakomai arti vienas kito ir tik vos daugiau nei bei tik vos daugiau nei kai ir artėja į a.
- Kai tai tada Lopitalio taisyklė egzistuos tik tada daugumai [ne rodiklinių (rodiklinė yra, pvz., )] funkcijų, kai bus keliomis eilėmis didesnis už nes tik tada bus keliomis eilėmis didesnis skaičius už skaičių ir bus keliomis eilėmis didesnis skaičius už skaičių.
- Update 1. Gali būti (turbūt taip ir yra), kad jeigu riba (kai ) nėra lygi 0 arba , tai tada nesvarbu kokiu budu ir artėja į a, vistiek formulėje
- šitas dėmuo artėja į 1. Ir tada tai reiškia, kad Lopitalio taisyklė visada egzistuoja, nepriklausomai nuo to ar tik vos daugiau nei bei tik vos daugiau nei (kai ir artėja į a) ar skirtumai dideli ( tarp ir bei tarp ir , kai ir artėja į a).