Matematika/Lopitalio taisyklė

Lopitalio taisyklė (Liopitalio taisyklė) skirta riboms neapibrėžtumo atvejais skaičiuoti, pasiūlyta Gijomo Lopitalio (1661-1704).

Pagrindinė Lopitalio taisyklės esmė yra išvestinės taikymas skaitikliui ir vardikliui atskirai.

I. Neapibrėžtumai ir

Teorema. Sakykime, kad
1)funkcijos f(x) ir g(x) apibrėžtos ir diferencijuojamos taško x=a aplinkoje;
2) arba
3) egzistuoja
Tada


II. Neapibrėžtumas

Šio tipo neapibrėžtumą galima pakeisti neapibrėžtumu arba Iš tikrųjų, sakykime, kad

Kadangi

tai

ir gauname neapibrėžtumą Analogiškai galime gauti ir neapibrėžtumą

III. Neapibrėžtumas

Jį galime pakeisti neapibrėžtumu Sakykime, kad ir Tada

Gavome neapibrėžtumą kurį skaičiuoti jau mokame.


IV. Neapibrėžtumai

Šio tipo neapibrėžtumai pakeičiami neapibrėžtumu remianti tapatybe (f(x)>0):

Laipsnio rodiklyje turime neapibrėžtumą

Pavyzdžiai

keisti
  • Apskaičiuosime   (m>0). Neapibrėžtumas   Taikome I taisyklę:
 
  • Apskaičiuosime   (m>0). Neapibrėžtumas   Taikome II taisyklę:
 
  • Apskaičiuosime   Neapibrėžtumas   Pertvarkome pagal III taisyklę ir paskui taikome du kartus I taisyklę:
  Kitaip:
 
  • Apskaičiuosime   Neapibrėžtumas  
 
  •  
  •  
  •  
  •  
  • Du kartus pritaikius Lopitalio taisyklę, apskaičiuojama ribinė reikšmė
 
  • Tris kartus pritaikius Lopitalio taisyklę, apskaičiuojama ribinė reikšmė
 
  •  
 
  •   Kitaip:
 
 
  •  
  •  
  •  
  •  
 
 
  •  
  •  

 

  •  

 


  •  
Taikėmė II taisyklę.


  • Pritaikius Lopitalio taisyklę n kartų, apskaičiuojama ribinė reikšmė
 


  •   Sakykime,   Tada
 
Pritaikę Lopitalio taisyklę, gauname
 
Iš to aišku, kad  


Lopitalio taisyklės įrodymas

keisti
Pirmiausia, kad įrodyti Lopitalio taisyklę reikia žinoti Lagranžo formulę ir Koši formulę.
Lagranžo formulė yra tokia:
 
čia   yra vienintelė argumento reikšmė iš intervalo [a; b].
Koši formulę galima gauti iš Lagranžo formulės. Tarkime, kad intervale [a; b] yra dvi tolydžios funkcijos f(x) ir g(x) (  intervale [a; b]), tada intervale [a; b] yra tokie taškai   ir   kad teisinga lygybė
 
Atskirai funkcijai f(x) turime Lagranžo formulę:
 
ir atskirai funkcijai g(x) turime Lagranžo formulę:
 
Padalinus kairiąsias abiejų funkcijų puses vieną iš kitos ir padalinus abiejų funkcijų dešiniąsias puses gausime Koši formulę:
 
 
(Iš tikro, Koši formulėje   ir jos išvedimas yra ne iš Lagranžo formulės, bet įrodinėjant Lopitalio taisyklę galima naudotis ir tokia Koši-Paraboloido formule).


Neapibrėžtumo   aiškinimas. Sakome, kad dviejų funkcijų santykis   kai   yra neapibrėžtumas   jei
 
Kadangi   ir   lygūs 0, tai nagrinėkime tokį  , kuris yra arti taško a (  yra taško a aplinkoje). Intervalas [a;  ] tenkina Koši teoremos sąlygas. Pagal tą teoremą intervalo [a;  ] viduje yra toks taškas   (arba pagal Koši-Paraboloido formulę išvestą iš Lagranžo formulės yra tokie taškai   ir   atitinkamai funkcijoms f(x) ir g(x)), kad
  arba
 
Atsižvelgę į tai, kad pagal papildomą apibrėžimą   (8.25) lygybę galime užrašyti šitaip:
  arba
 
Dabar tarkime, kad šioje lygybėje  . Tada, savaime aišku,   (arba   ir  ). Taigi,
 


Neapibrėžtumo   aiškinimas. Sakome, kad dviejų funkcijų santykis   kai   yra neapibrėžtumas   kai
  (vietoj   gali būti   arba  ).
Taikydami Koši formulę segmentui (segmentu vadinamas uždaras intervalas aukšojoj matematikoje) [x; a], galime tvirtinti, jog jame yra toks taškas   kad
 
Iš čia
 
Kai x artėja prie a, bet niekad nepriartėja (niekad netampa a), tai
 
be kita ko, kai   tai   taip pat priartėja prie a, bet kokiu norimu tikslumu. Tokiu budu, gauname apytikslę formulę, bet kokiu norimu tikslumu tašką   [apytiksliai] lygiu a, bet ne apsoliučiai lygiu a reikšmei. Todėl paskutinę formulę galime užrašyti šitaip:
 
Profesionalesnis neapibrėžtumo   aiškinimas. Tarkime, kad
 
Sakykime,   ir   labai priarteja prie a (tad dėl šios priežasties   yra labai mažas skaičius) ir tenkina sąlygą   Be to   keliomis eilėmis (kiek eilių daugiau galima pasirinkti) daugiau už   o   keliomis eilėmis daugiau už  
Taikydami Koši formulę segmentui   galime tvirtinti, jog jame yra toks taškas   kad
 
Iš čia
 
Kadangi pagal sąlygą   keliomis eilėmis daugiau už   ir   keliomis eilėmis daugiau už   tai galime užrašyti paskutinę formulę taip:
 
Kai   tai taškas   esantis tarp   ir   irgi artėja prie a. Todėl
 
Gali kilti natūralus klausimas: kas, jeigu skirtumas tarp   ir   labai mažas (kai   ir   artėja į a) ir be to   tik vos daugiau nei   (taip pat ir   tik vos daugiau nei  )?
Atsakymas yra toks, kad tada formulėje
 
  nėra   o yra kažkoks nesuderintas skaičius
 
Todėl formulė
 
bus teisinga [ir egzistuoja] tik tada, kai tenkinama sąlyga, kad   keliomis eilėmis daugiau už   ir   keliomis eilėmis daugiau už  
Pavyzdys apie tai, kada Lopitalio taisyklė egzistuoja ir kada neegzistuoja. Tarkime turime funkciją   Kai  , tai   Galimi du atvejai, kai   ir   artėja į 1: pirmas atvejis, kai   tik vos skiriasi nuo   antras atvejis, kai   keliomis eilėmis skiriasi nuo  
Išnagrinėkime pirmąjį atvejį. Imkime   ir  . Tada
 
 
 
Išnagrinėkime antrąjį atvejį. Imkime   ir  . Tada
 
 
 
Matome, kad pirmuoju atveju formulė
  pavirsta į tokią  
kur C yra nemažas skaičius (gali gautis, priklausomai nuo g(x) funkcijos, apie 0.3 arba apie 3).
Antruoju atveju formulė
  pavirsta į tokią  
kur c yra labai mažas skaičius (priklausomai nuo g(x) funkcijos, c gali gautis lygus apie 0.999 arba apie 1.001).
Pirmuoju atveju Lopitalio taisyklė neegzistuoja. Antruoju atveju Lopitalio taisyklė egzistuoja (nes antruoju atveju Lopitalio taisyklės formulėje nėra jokios gana didelės konstantos C). Pirmuoju atveju gaunama tokia formulė:
 
kuri nėra Lopitalio taisyklės formulė (dėl gana didelės konstantos C). Vadinasi, Lopitalio taisyklė neskaičiuoja pagal formulę, kai   ir   yra neapsakomai arti vienas kito ir   tik vos daugiau nei   bei   tik vos daugiau nei   kai   ir   artėja į a.
Kai   tai tada Lopitalio taisyklė egzistuos tik tada daugumai [ne rodiklinių (rodiklinė yra, pvz.,  )] funkcijų, kai   bus keliomis eilėmis didesnis už   nes tik tada   bus keliomis eilėmis didesnis skaičius už   skaičių ir   bus keliomis eilėmis didesnis skaičius už   skaičių.
Update 1. Gali būti (turbūt taip ir yra), kad jeigu riba   (kai  ) nėra lygi 0 arba  , tai tada nesvarbu kokiu budu   ir   artėja į a, vistiek formulėje
 
šitas dėmuo   artėja į 1. Ir tada tai reiškia, kad Lopitalio taisyklė visada egzistuoja, nepriklausomai nuo to ar   tik vos daugiau nei   bei   tik vos daugiau nei   (kai   ir   artėja į a) ar skirtumai dideli ( tarp   ir   bei tarp   ir  , kai   ir   artėja į a).