Aptarimas : Matematika/Normalioji diferencialinių lygčių sistema
{
d
y
d
x
=
2
y
+
3
z
+
e
x
,
d
z
d
x
=
3
y
+
2
z
+
sin
x
.
{\displaystyle {\begin{cases}{\frac {dy}{dx}}=2y+3z+e^{x},&\\{\frac {dz}{dx}}=3y+2z+\sin x.&\end{cases}}}
atskirąjį sprendinį, tenkinantį pradines sąlygas
y
|
x
=
0
=
3
13
,
z
|
x
=
0
=
19
26
.
{\displaystyle y|_{x=0}={\frac {3}{13}},\;z|_{x=0}={\frac {19}{26}}.}
Sprendimas . Pirmąją sistemos lygtį išdiferencijuojame kintamojo x atžvilgiu:
d
2
y
d
x
2
=
2
d
y
d
x
+
3
d
z
d
x
+
e
x
.
{\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=2{\frac {dy}{dx}}+3{\frac {dz}{dx}}+e^{x}.}
Į šią lygtį įrašome
d
y
d
x
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}
d
z
d
x
{\displaystyle {\frac {dz}{dx}}}
d
2
y
d
x
2
=
2
(
2
y
+
3
z
+
e
x
)
+
3
(
3
y
+
2
z
+
sin
x
)
+
e
x
,
{\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=2(2y+3z+e^{x})+3(3y+2z+\sin x)+e^{x},}
d
2
y
d
x
2
=
13
y
+
12
z
+
3
e
x
+
3
sin
x
.
{\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=13y+12z+3e^{x}+3\sin x.}
Sudarome sistemą
{
d
y
d
x
=
2
y
+
3
z
+
e
x
,
d
2
y
d
x
2
=
13
y
+
12
z
+
3
e
x
+
3
sin
x
.
{\displaystyle {\begin{cases}{\frac {dy}{dx}}=2y+3z+e^{x},&\\{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=13y+12z+3e^{x}+3\sin x.&\end{cases}}}
ir iš jos eliminuojame funkciją z . Galima daryti taip: pirmąją sistemos lygtį padauginti iš
−
4
{\displaystyle -4}
d
2
y
d
x
2
−
4
d
y
d
x
=
13
y
+
12
z
+
3
e
x
+
3
sin
x
−
4
(
2
y
+
3
z
+
e
x
)
,
{\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}-4{\frac {dy}{dx}}=13y+12z+3e^{x}+3\sin x-4(2y+3z+e^{x}),}
d
2
y
d
x
2
−
4
d
y
d
x
=
5
y
−
e
x
+
3
sin
x
,
{\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}-4{\frac {dy}{dx}}=5y-e^{x}+3\sin x,}
d
2
y
d
x
2
−
4
d
y
d
x
−
5
y
=
3
sin
x
−
e
x
.
(
65
)
{\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}-4{\frac {dy}{dx}}-5y=3\sin x-e^{x}.\quad (65)}
Ji ir yra antrosios eilės tiesinė nehomogeninė diferencialinė lygtis. Kadangi jos charakteringoji lygtis
k
2
−
4
k
−
5
=
0
{\displaystyle k^{2}-4k-5=0}
k
1
=
−
1
,
k
2
=
5
,
{\displaystyle k_{1}=-1,\;k_{2}=5,}
d
2
y
d
x
2
−
4
d
y
d
x
−
5
y
=
0
{\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}-4{\frac {dy}{dx}}-5y=0}
y
¯
=
C
1
e
−
x
+
C
2
e
5
x
.
{\displaystyle {\bar {y}}=C_{1}e^{-x}+C_{2}e^{5x}.}
Toliau parenkame atskirąjį nehomogeninės lygties sprendinį
y
~
=
M
cos
(
x
)
+
N
sin
(
x
)
+
a
e
x
.
{\displaystyle {\tilde {y}}=M\cos(x)+N\sin(x)+ae^{x}.}
Suradę
y
¯
′
{\displaystyle {\bar {y}}'}
y
¯
″
{\displaystyle {\bar {y}}''}
y
~
′
=
(
M
cos
(
x
)
+
N
sin
(
x
)
+
a
e
x
)
′
=
−
M
sin
(
x
)
+
N
cos
(
x
)
+
a
e
x
;
{\displaystyle {\tilde {y}}'=(M\cos(x)+N\sin(x)+ae^{x})'=-M\sin(x)+N\cos(x)+ae^{x};}
y
~
″
=
(
−
M
sin
(
x
)
+
N
cos
(
x
)
+
a
e
x
)
′
=
−
M
cos
(
x
)
−
N
sin
(
x
)
+
a
e
x
;
{\displaystyle {\tilde {y}}''=(-M\sin(x)+N\cos(x)+ae^{x})'=-M\cos(x)-N\sin(x)+ae^{x};}
y
~
″
−
4
y
~
′
−
5
y
~
=
3
sin
x
−
e
x
;
{\displaystyle {\tilde {y}}''-4{\tilde {y}}'-5{\tilde {y}}=3\sin x-e^{x};}
−
M
cos
(
x
)
−
N
sin
(
x
)
+
a
e
x
−
4
(
−
M
sin
(
x
)
+
N
cos
(
x
)
+
a
e
x
)
−
5
(
M
cos
(
x
)
+
N
sin
(
x
)
+
a
e
x
)
=
3
sin
(
x
)
−
e
x
;
{\displaystyle -M\cos(x)-N\sin(x)+ae^{x}-4(-M\sin(x)+N\cos(x)+ae^{x})-5(M\cos(x)+N\sin(x)+ae^{x})=3\sin(x)-e^{x};}
−
M
cos
(
x
)
−
N
sin
(
x
)
+
a
e
x
+
4
M
sin
(
x
)
−
4
N
cos
(
x
)
−
4
a
e
x
−
5
M
cos
(
x
)
−
5
N
sin
(
x
)
−
5
a
e
x
=
3
sin
(
x
)
−
e
x
;
{\displaystyle -M\cos(x)-N\sin(x)+ae^{x}+4M\sin(x)-4N\cos(x)-4ae^{x}-5M\cos(x)-5N\sin(x)-5ae^{x}=3\sin(x)-e^{x};}
−
M
cos
(
x
)
−
N
sin
(
x
)
+
4
M
sin
(
x
)
−
4
N
cos
(
x
)
−
5
M
cos
(
x
)
−
5
N
sin
(
x
)
−
8
a
e
x
=
3
sin
(
x
)
−
e
x
;
{\displaystyle -M\cos(x)-N\sin(x)+4M\sin(x)-4N\cos(x)-5M\cos(x)-5N\sin(x)-8ae^{x}=3\sin(x)-e^{x};}
(
−
6
M
−
4
N
)
cos
(
x
)
+
(
4
M
−
6
N
)
sin
(
x
)
−
8
a
e
x
=
3
sin
(
x
)
−
e
x
.
{\displaystyle (-6M-4N)\cos(x)+(4M-6N)\sin(x)-8ae^{x}=3\sin(x)-e^{x}.}
Iš čia
a
=
1
8
.
{\displaystyle a={\frac {1}{8}}.}
Reikšmes M ir N surasime išsprendę lygčių sistemą:
{
−
6
M
−
4
N
=
0
,
4
M
−
6
N
=
3.
{\displaystyle {\begin{cases}-6M-4N=0,&\\4M-6N=3.&\end{cases}}}
Pirmąją sistemos lygtį padauginę iš
2
3
{\displaystyle {\frac {2}{3}}}
2
3
(
−
6
M
−
4
N
)
+
4
M
−
6
N
=
0
⋅
2
3
+
3
,
{\displaystyle {\frac {2}{3}}(-6M-4N)+4M-6N=0\cdot {\frac {2}{3}}+3,}
−
4
M
−
8
N
3
+
4
M
−
6
N
=
3
,
{\displaystyle -4M-{\frac {8N}{3}}+4M-6N=3,}
−
8
N
3
−
6
N
=
3
,
{\displaystyle -{\frac {8N}{3}}-6N=3,}
−
8
N
−
18
N
3
=
3
,
{\displaystyle {\frac {-8N-18N}{3}}=3,}
−
26
N
3
=
3
,
{\displaystyle {\frac {-26N}{3}}=3,}
−
26
N
=
1
,
{\displaystyle -26N=1,}
N
=
−
1
26
;
{\displaystyle N=-{\frac {1}{26}};}
Toliau įstatę surastą N į kurią nors vieną iš lygčių (-6M-4N=0 arba 4M-6N=3) rasime M :
−
6
M
−
4
N
=
0
,
{\displaystyle -6M-4N=0,}
−
6
M
−
4
⋅
(
−
1
26
)
=
0
,
{\displaystyle -6M-4\cdot \left(-{\frac {1}{26}}\right)=0,}
−
6
M
+
4
26
=
0
,
{\displaystyle -6M+{\frac {4}{26}}=0,}
−
6
M
=
−
2
13
,
{\displaystyle -6M=-{\frac {2}{13}},}
M
=
2
13
⋅
6
,
{\displaystyle M={\frac {2}{13\cdot 6}},}
M
=
1
13
⋅
3
,
{\displaystyle M={\frac {1}{13\cdot 3}},}
M
=
1
39
.
{\displaystyle M={\frac {1}{39}}.}
Grįžti į "Matematika/Normalioji diferencialinių lygčių sistema" puslapį.
