Matematika/Normalioji diferencialinių lygčių sistema

Tarkime, kad - kintamojo x funkcijos.
Apibrėžimas. Sistemą, kurią sudaro diferencialinės lygtys, siejančios kintamąjį x, funkcijas bei jų išvestines, vadinama diferencialinių lygčių sistema.
Toliau nagrinėsime tam tikros išraiškos sistemą
kuri vadinama normaliąja diferencialinių lygčių sistema; čia - (n-1) kartą diferencijuojamos funkcijos (). Jos sprendiniu tam tikrame intervale vadinsime visumą tame intervale apibrėžtų ir tolydžiai diferencijuojamų funkcijų tenkinančių tos sistemos lygtis.
(62) sistemą sprendžaime taip. Pirmąją jos lygtį (galima imti ir kurią nors kitą) išdiferencijuojame kintamojo x atžvilgiu:
Į (63) lygtį įrašę išvestinių išraiškas, nusakomas (62) lygtimis, gauname lygtį, kurios dešinioji pusė priklauso nuo
Šią lygtį dar kartą diferencijuojame x atžvilgiu ir vietoj išvestinių vėl įrašome jų išraiškas iš (62) sistemos. Gauname lygtį
Pratęsę šį procesą, pagaliau turime lygtį
Taigi gauname sistemą
Iš jos, eliminavę funkcijas gauname lygtį, siejančią taigi gauname n-tosios eilės diferencialinę lygtį.
Išsprendę ją, randame
Žinodami funkcijas randame iš (64) sistemos.


PavyzdžiaiKeisti

  • Rasime sistemos
 
atskirąjį sprendinį, tenkinantį pradines sąlygas
 
Sprendimas. Pirmąją sistemos lygtį išdiferencijuojame kintamojo x atžvilgiu:
 
Į šią lygtį įrašome   ir   išraiškas iš duotosios sistemos:
 
 
Sudarome sistemą
 
ir iš jos eliminuojame funkciją z. Galima daryti taip: pirmąją sistemos lygtį padauginti iš   ir sudėti su antrąja sistemos lygtimi. Tuomte gausime lygtį
 
 
 
Ji ir yra antrosios eilės tiesinė nehomogeninė diferencialinė lygtis. Kadangi jos charakteringoji lygtis   turi šaknis   tai homoheninės lygties ( ) bendrasis sprendinys
 
Toliau parenkame atskirąjį nehomogeninės lygties sprendinį
 
Suradę   ir   bei jų išraiškas į (65) lygtį, gauname:
 
 
 
 
 
 
 
Iš čia
 
Reikšmes M ir N surasime išsprendę lygčių sistemą:
 
Antrąją sistemos lygtį padauginę iš   ir pridėję prie pirmosios, gauname:
 
 
 
 
Toliau įstatę surastą N į kurią nors vieną iš lygčių (-6M-4N=0 arba 4M-6N=3) rasime M:
 
 
 
 
 
 
Taigi
 
 
Iš pirmosios sistemos lygties turime
 
 
 
Kadangi
 
tai
 
 
 
 
Gavome tokį sistemos sprendinį
 
 
( 
 
 ).
Norėdami rasti konstantų   ir   reikšmes, tenkinančias duotas pradines sąlygas, į bendrąjį sprendinį įrašome   ir   Gauname sistemą
 
 
 
 
 
 
Sudeties budu išsprendžiame sistemą:
 
 
 
 
 
 
Iš čia   Taigi atskirasis sistemos sprendinys yra toks:
 
 
Normaliosios diferencialinių lygčių sistemos sudaro vieną sistemų klasę. Tačiau yra įvairių sistemų, kurių išraiška neatitinka (62) sistemos lygčių išraiškos. Kai kurias jų galima išspręsti įvairiais dirbtiniais būdais.


  • Išspręskime sistemą
 
Sprendimas. Pirmąją lygtį išdiferencijavę du kartus paeiliui x atžvilgiu, gauname lygtį
 
Tačiau   todėl turime lygtį
  arba  
(Parinkus   gauname:
 
 
 )
Charakteringąją jos lygtį   galima pertvarkyti taip:
 
 
Iš čia randame jos šaknis
 
Vadinasi, bendrasis lygties   sprendinys yra
 
Funkciją z rasime išdiferencijavę gautąją y išraišką keturis kartus. Tai padaryti siūlome skaitytojui.